Variance Gamma з нуля
1/5Сам час є випадковим
Variance Gamma починається з радикальної ідеї: замість додавання стрибків до дифузії зробити стохастичним сам час. Броунівський рух іде за випадковим годинником.
Звичайний броунівський рух використовує календарний час: одна секунда за секунду, невблаганно рівномірно. VG стверджує, що ринок має власний внутрішній годинник — гамма-процес G(t) — який іноді мчить уперед, а іноді повзе. Коли годинник іде швидко, броунівський рух отримує більше «ефективного часу» і робить великі рухи. Коли годинник простоює, ціна майже не рухається.
Результат: товсті хвости виникають природно з випадковості годинника, без явного задання розподілу розміру стрибків. Періоди швидкого годинника створюють кластери великих рухів. Повільні періоди створюють моторошний спокій. Це відповідає тому, як насправді виглядають тонкі криптовалютні книги заявок — довгі відрізки затишшя, а потім раптові сплески активності.
G(t) — гамма-процес із середньою швидкістю 1 та швидкістю дисперсії ν. Це і є випадковий годинник.
θ — дрейф усередині годинника (створює скью).
σ — дифузійна волатильність усередині годинника.
Нижче верхня панель показує гамма-процес G(t) — випадковий годинник. Пунктирна лінія — календарний час (пряма діагональ). Коли G(t) стрибає вище діагоналі, час іде швидко. Нижня панель показує результуючий процес VG — броунівський рух, обчислений у випадковий час G(t).
Збільште ν, щоб зробити годинник більш хаотичним. Спостерігайте, як процес VG стає більш диким — більші рухи, сильніша кластеризація. Це і є механізм товстих хвостів.
Уявіть фільм зі змінною швидкістю відтворення. Деякі сцени йдуть у сповільненому режимі (спокійний ринок). Деякі — на перемотці вперед (панічні продажі, каскади ліквідацій). Сам фільм — це звичайний броунівський рух. Регулятор швидкості — гамма-процес. Те, що бачить глядач — процес VG — уже містить у собі всю драму змін швидкості.
Три параметри
VG має найчистішу інтерпретацію параметрів серед усіх моделей усмішки. Кожен параметр відповідає рівно одному статистичному моменту. Жодної надлишковості, жодних проблем із кореляціями.
σ (сигма) — дифузійна волатильність. Волатильність броунівського руху всередині випадкового годинника. Контролює загальний рівень усмішки. Вища σ піднімає все. Це аналог волатильності Блека-Шоулза.
θ (тета) — дрейф у субординованому броунівському русі. Контролює скью. Якщо θ < 0, процес дрейфує вниз усередині випадкового годинника, і усмішка нахиляється — крило путів крутіше за крило коллів. Якщо θ = 0, усмішка симетрична.
ν (ню) — дисперсія гамма-часу. Контролює надлишковий ексцес (товщину хвостів). Вища ν робить годинник більш випадковим, що створює товстіші хвости й крутіші крила з обох боків. Це параметр, який відрізняє VG від Блека-Шоулза.
Три експерименти:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Майже плоска усмішка — близько до Блека-Шоулза. Годинник майже детермінований.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Негативний скью з помірним ексцесом. Класична форма крипто-усмішки.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Симетрична, але з екстремальним ексцесом. Обидва крила злітають угору. «Режим чорного лебедя».
σ → дисперсія (2-й момент). θ → асиметрія (3-й момент). ν → надлишковий ексцес (4-й момент). Це найчистіший розподіл форми усмішки серед усіх моделей зі стрибками або стохастичною волатильністю. Heston має 5 параметрів із кореляціями між ними. VG має 3 ортогональні важелі.
Насправді це чистий стрибковий процес
Попри те, що траєкторії VG виглядають як броунівський рух зі зміненим часом (гладкий + розтягнутий), технічно вони суто стрибкові. Кожен рух — це стрибок. У календарному часі немає неперервної дифузійної компоненти.
Це філософськи відрізняється від Мертона. У Мертона ціна більшу частину часу рухається гладко (дифузія), з нечастими великими стрибками. У VG весь рух є розривним. Процес має нескінченну активність (нескінченно багато стрибків на будь-якому інтервалі), але скінченну варіацію (сумарний розмір стрибків обмежений).
Більшість цих стрибків крихітні. Кілька — великі. У границі багатьох крихітних стрибків траєкторія виглядає майже неперервною — вона добре апроксимується гладкою кривою. Але наблизьтеся достатньо, і кожен рух технічно є стрибком. Жодні дві сусідні ціни не з'єднані неперервним шляхом.
Ліва панель показує траєкторію VG у вигляді ступінчастої функції — кожен часовий крок є окремим стрибком. Права панель показує траєкторію Мертона з гладкою дифузією між рідкісними великими стрибками (червоні смуги). Натисніть «Згенерувати заново» та порівняйте:
VG: постійні малі стрибки, зрідка великі. Жодних гладких ділянок. Траєкторія коливається всюди.
Мертон: довгі гладкі відрізки, перервані раптовими вертикальними стрибками. Два чітко відмінні режими (спокій проти шоку).
У світі чистих стрибків дельта-хеджування недосконале за побудовою — ви не можете торгувати неперервно, бо сама ціна розривна. Це насправді чесніше за Мертона, який стверджує, що дифузійну частину можна хеджувати ідеально, а нехеджованими є лише рідкісні стрибки. У тонких криптовалютних книгах заявок кожне виконання — фактично стрибок. VG визнає цю реальність.
Характеристична функція
VG має чисту характеристичну функцію в закритій формі. Саме це робить Фур'є-прайсинг практичним — ви можете оцінювати європейські опціони швидко й точно без Монте-Карло.
σ входить через член u² (внесок дисперсії).
θ входить через член iu (скью через уявну частину).
ν входить через показник −T/ν і в основу (ексцес).
When ν → 0: the exponent → −∞, і характеристична функція збігається до логнормальної CF моделі BS. VG містить BS як граничний випадок.
Процес прайсингу: візьміть цю CF, підставте у формулу Карра-Мадана (1999) або метод COS і застосуйте швидке перетворення Фур'є. Ви отримуєте ціни опціонів по всіх страйках за один прохід — без обчислень для кожного страйку окремо, без шуму симуляції.
Показник −T/ν є від'ємним і стає ще від'ємнішим зі зростанням T. Це означає, що CF швидше згасає для довших строків, що відповідає сплощенню усмішки VG з часом. Випадковість годинника усереднюється на довгих горизонтах — природний ефект часової структури.
VG на практиці
VG не є галузевим стандартом за замовчуванням — Bates (Heston + стрибки) домінує на столах акцій і крипто. Але ідея субординації VG з'являється всюди, і модель має конкретні ніші.
Кредитні деривативи: VG спочатку був популярним у моделюванні кредиту. Дефолт є стрибковою подією. Чисто стрибкова природа VG чисто обробляє розривні виплати. Madan, Carr і Chang (1998) представили VG частково з думкою про кредит.
Екзотичні опціони з простими вимогами до усмішки: Коли потрібне підганяння усмішки трьома параметрами з чіткою інтерпретацією моментів, VG важко перевершити. Калібрування швидке, бо кожен параметр має однозначний ефект.
Крипто на тонких парах: неліквідні крипто-пари не дифузують плавно — вони стрибають від однієї ціни до іншої, коли заповнюються заявки. Чисто стрибковий характер VG є більш чесним описом такого руху ціни, ніж будь-яка дифузійна модель.
Ідея субординації: концепція заміни календарного часу випадковим годинником є фундаментальною. Вона з'являється у стохастичних годинниках, моделях бізнес-часу, моделях на основі активності та CGMY (узагальнення VG). Навіть якщо ви ніколи не оцінюватимете опціон за VG, розуміння замін часу робить зрозумілішою кожну іншу модель.
Блек-Шоулз: плоска усмішка. Неперервні траєкторії. 1 параметр.
Мертон: усмішка від рідкісних великих стрибків. Гладка дифузія + пуассонівські стрибки. 4 параметри.
Коу: усмішка від асиметричних стрибків. Незалежний контроль крил. 5 параметрів.
Variance Gamma: усмішка від випадкового годинника. Чисто стрибковий процес, без дифузії. 3 параметри, по одному на момент.
Heston: усмішка від стохастичної волатильності. Неперервні траєкторії. 5 параметрів.
Bates: Heston + стрибки Мертона. Робоча конячка. 8 параметрів.
Куди рухатися далі:
Стрибкова дифузія Мертона — дифузія + рідкісні великі стрибки
Стрибкова дифузія Коу — асиметричні стрибки з незалежними крилами
Модель Heston — стохастична волатильність, інший підхід до усмішок
Модель Bates — Heston + стрибки: галузева робоча конячка