Цю сторінку перекладено автоматично. Оригінал англійською мовою є канонічним. Читати англійською →
Перейти к основному содержимому

Variance Gamma

Variance Gamma (VG): жодної дифузії взагалі. Ціни не рухаються плавно між стрибками — кожен рух є стрибком. Стрибки відбуваються за випадковим годинником. Час рухається швидко під час високої активності та повільно під час спокійних періодів. Цей випадковий годинник створює важкі хвости без потреби в «розподілі розмірів стрибків», як у Merton. Отримана поверхня волатильності може одночасно відповідати реальному ринковому скью та куртозису.

Три параметри керують усім: волатильність (sigma), скью (theta), куртозис (nu).

💡
Ідея випадкового годинника

Ринок має власний внутрішній годинник, що працює з випадковою швидкістю. Активні дні: годинник цокає швидко, ціни сильно рухаються. Спокійні дні: годинник ледь рухається. VG = Black-Scholes на випадковому годиннику. Важкі хвости та природна усмішка виникають самі собою, без жодних припущень про обвали чи розміри стрибків.

Дослідіть параметри​

Спробуйте спершу «Тонкі хвости», щоб побачити майже Black-Scholes. Потім збільшуйте nu (куртозис), щоб спостерігати, як піднімаються крила.

Дослідник усмішки Variance Gamma

Від'ємний скью плюс важкі хвости. Класична крипто-усмішка: круте крило путів, підняте крило коллів.
46%53%60%758595ATM105115125СтрайкІмпліцитна волатильність (%)
Волатильність0.45
Загальний рівень волатильності. Вище = усе дорожче.
θ (скью)-0.15
Від'ємне = скью путів. Визначає, який бік усмішки крутіший.
ν (ексцес)0.30
Керує товщиною хвостів. Вище = екстремальніші рухи, крутіші крила.

Спробуйте «Тонкі хвости», щоб побачити майже плоский Блек-Шоулз, а потім збільште ν, щоб побачити, як крила піднімаються через надлишковий ексцес.

Що робить кожен параметр​

  • Sigma (волатильність): Базова волатильність, коли годинник цокає з нормальною швидкістю. Це загальний рівень — як ATM волатильність.
  • Theta (скью): Дрейф процесу. Від'ємна theta означає, що ринок за даний часовий крок схильний рухатися вниз більше, ніж вгору. Це створює пут-скью — ліве крило крутіше за праве.
  • Nu (куртозис): Керує тим, наскільки «випадковим» є годинник. Низька nu = годинник цокає рівномірно (тонкі хвости, близько до Black-Scholes). Висока nu = годинник дуже нестабільний (важкі хвости, круті крила). OTM опціони стають значно дорожчими.
Параметр
Керує
Ефект на усмішку
σ (sigma)
Рівень волатильності
Зсуває всю усмішку вгору або вниз
θ (theta)
Скью / асиметрія
Від'ємне = круте пут-крило. Нуль = симетрично.
ν (nu)
Товщина хвостів
Вище = обидва крила піднімаються. Нуль = немає надлишкового куртозису (Black-Scholes).

Чому чисто стрибковий?​

Black-Scholes і навіть Merton припускають неперервну дифузійну компоненту — ціни рухаються плавно більшу частину часу, з випадковими стрибками. VG каже: можливо, весь ціновий рух є розривним. На рівні тіків ціни стрибають з одного рівня на наступний. Немає плавної траєкторії між угодами. Дельта-хеджування недосконале за конструкцією — ви не можете безперервно реплікувати виплату.

Хороший опис того, як насправді працюють крипторинки — особливо на парах із низькою ліквідністю, де книга заявок тонка, а ціни стрибають з одного рівня на інший.

ℹ️
Три параметри, три моменти

VG елегантна, оскільки кожен параметр безпосередньо відображається на статистичну властивість дохідностей. Sigma керує дисперсією (другий момент), theta керує асиметрією (третій момент), а nu керує надлишковим куртозисом (четвертий момент). Жодної надмірності, жодних головних болів з кореляцією параметрів.

VG проти інших моделей​

Variance Gamma
Merton
Black-Scholes
Траєкторія ціни
Чисті стрибки (випадковий годинник)
Дифузія + випадкові стрибки
Лише плавна дифузія
Поведінка хвостів
Важкі хвости від випадковості годинника
Важкі хвости від дискретних стрибків
Тонкі (гаусові) хвости
Параметри
3 (sigma, theta, nu)
4 (sigma, lambda, mu_J, sigma_J)
1 (sigma)
Форма усмішки
Плавна, керується 3 регуляторами
Крута для коротких строків, згасає для довгих
Плоска (без усмішки)
Найкраще для
Загальна підгонка усмішки, тонка ліквідність
Ризик подій, короткострокові опціони
Швидко й грубо, ліквідні ринки

VG на практиці​

VG менш поширена, ніж Heston чи SABR, на традиційних десках, але має свою нішу в крипто та кредиті:

Сценарій використання
Чому VG
Криптоопціони на неліквідних парах
Чисто стрибкова природа відповідає стрибкоподібній ціновій динаміці. Немає потреби імітувати неперервну дифузію.
Кредитні деривативи
Дефолт є стрибковою подією. VG природно обробляє розривні виплати.
Швидка підгонка усмішки з 3 параметрами
Менше параметрів, ніж у Heston (5) чи Merton (4). Кожен параметр має чітке значення.
Зіставлення моментів
Прямий контроль над дисперсією, асиметрією та куртозисом робить калібрування інтуїтивним.
💡
Один параметр на момент

Кожен параметр VG керує рівно однією статистичною властивістю дохідностей. Найчистіше розділення скью та товщини хвостів серед будь-якої моделі усмішки. Вега-експозиція за VG відрізняється від Black-Scholes, оскільки усмішка імпліцитної волатильності не плоска. Якщо вам потрібно більше, ніж Black-Scholes, але не потрібна складність Heston чи SLV, VG підходить.

Оглядач рівнянь​

Конвертуйте між імпліцитною волатильністю, повною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
Імпліцитна волатильність
днів
Календарні дні до експірації
Загальна дисперсія (w)
0.022225
Річна дисперсія (σ²)
0.2704
IV (зворотний перерахунок)
52.00%
Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Що таке «випадковий годинник» у Variance Gamma, і чому він створює важкі хвости?
Q: Якщо theta дорівнює нулю, а nu висока, як виглядає усмішка?
Q: Чому VG може краще підходити, ніж Merton, для криптоопціонів на неліквідних парах?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Побудова математичної інтуїції​

Вивчіть Variance Gamma з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок навчає Variance Gamma через ментальну модель випадкового годинника, а потім показує, як theta, sigma та nu керують скью, звичайним розміром руху та товщиною хвостів.

Дивіться також:

Останнє оновлення