Ванна-волга з нуля
1/5Три ліквідні опціони визначають ціну всього
Ванна-Волга використовує рівно три ринкові котирування, щоб побудувати всю усмішку. 25Δ пут, стредл ATM і 25Δ колл. Це всі вхідні дані. Усе інше виводиться.
На ринках FX дилери не котирують ціни опціонів за страйками. Вони котирують три числа:
ATM vol (σATM). Волатильність стредла на грошах (ATM). Вона задає загальний рівень усмішки.
25Δ risk reversal (RR). Різниця між волатильністю 25-дельта колла та 25-дельта пута. Вона відображає скью — наскільки нахилена усмішка.
25Δ butterfly (BF). Середнє волатильностей 25-дельта пута і колла мінус ATM-волатильність. Це відображає кривизну — наскільки обидва крила підіймаються над ATM.
З цих трьох чисел можна відновити окремі волатильності:
Метод Ванна-Волга бере ці три ліквідні опорні точки й будує повну усмішку, запитуючи: який найдешевший спосіб хеджувати ризик усмішки будь-якого цільового опціону цими трьома інструментами?
Уявіть ATM, RR і BF як три ручки на мікшерному пульті. ATM — це загальна гучність. RR — регулятор балансу (ліворуч чи праворуч). BF — підсилення гучності (з обох боків). Три ручки — одна усмішка.
Що таке ванна та волга?
Ванна та волга — це два греки другого порядку, існування яких Блек-Шоулз ігнорує. Вони вимірюють чутливість до ризику усмішки: перехресний ефект між спотом і волатильністю (ванна) та опуклість за волатильністю (волга).
Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. Це чутливість дельти до змін волатильності або, що те саме, чутливість веги до змін споту. Коли рухається волатильність, зміщується дельта. Коли рухається спот, зміщується вега. Обидва ефекти — це ванна.
Ванна найбільша біля ATM і є антисиметричною відносно форварда. Для путів (ліве крило) ванна додатна: коли волатильність зростає, дельта пута стає більш від'ємною (глибше в грошах у ймовірнісному просторі). Для коллів (праве крило) ванна від'ємна.
Volga = ∂²V / ∂σ². Це гамма волатильності — опуклість ціни опціону відносно волатильності. Опціон із додатною волгою виграє від руху волатильності в будь-якому напрямку.
Волга найбільша у крилах і є симетричною відносно форварда. Глибокі OTM пути та глибокі OTM колли мають велику додатну волгу. Опціони ATM мають майже нульову волгу.
Графік вище показує обидва профілі за страйками. Блек-Шоулз припускає плоску усмішку, тому оцінює експозицію до ванни та волги за нульовою вартістю. Але на реальному ринку з усмішкою утримання експозиції до ванни та волги не безкоштовне — воно має вартість, і саме цю поправку до усмішки обчислює Ванна-Волга.
Дельта і гамма — ефекти першого порядку, які враховує Блек-Шоулз. Вега — це чутливість до волатильності першого порядку, яку BS теж враховує (хоч і припускає, що волатильність стала, вега в моделі є). Ефекти волатильності другого порядку — як дельта змінюється з волатильністю (ванна) і як вега змінюється з волатильністю (волга) — це саме те, що кодує усмішка. Усмішка — це не що інше, як ринкова ціна ризику ванни та волги.
Аргумент реплікації
Ось ключова ідея: побудуйте портфель із трьох ліквідних еталонних опціонів, який відтворює ванну та волгу цільового опціону. Вартість цього хеджуючого портфеля — понад його вартість за Блеком-Шоулзом — і є поправкою на усмішку.
Почніть із цільового опціону з довільним страйком K. Обчисліть його ванну та волгу за Блеком-Шоулзом (з ATM-волатильністю). Тепер знайдіть ваги (x₁, x₂, x₃) на трьох еталонних опціонах, такі що:
Коли ваги знайдено, ціна VV дорівнює:
Перетягніть цільовий страйк у віджеті вище. Спостерігайте, як зміщуються ваги реплікації:
Ціль біля 25Δ пута: Майже вся вага припадає на еталонний пут. Еталони ATM і колл дають незначний внесок.
Ціль біля ATM: Домінує еталон ATM. Поправка мала, бо BS майже точний на ATM.
Ціль між еталонами: Ваги плавно інтерполюються. Усмішка на будь-якому проміжному страйку — це зважена комбінація трьох опорних точок.
Формула
Якщо явно обчислити ваги реплікації, поправка VV чітко розпадається на два доданки: поправку ванни, що створює скью, та поправку волги, що створює кривизну.
Доданок волги: пропорційний метелику. Симетричний — додає обом крилам порівну.
Ця декомпозиція — причина, чому метод називається Ванна-Волга. Уся поправка на усмішку пояснюється двома ефектами:
Поправка ванни є антисиметричною відносно ATM. Її визначає котирування ризик-реверсалу. Коли ринок котирує сильно від'ємний RR (пути дорожчі за колли), поправка ванни нахиляє усмішку вліво. Для глибоких OTM путів поправка найбільша і додатна (додає премію). Для глибоких OTM коллів вона від'ємна (зменшує премію).
Поправка волги є симетричною відносно ATM. Її визначає котирування метелика. Коли ринок котирує великий BF, поправка волги підіймає обидва крила. ATM не зачіпається (волга там близька до нуля). Що далі в крила, то більша поправка.
Стовпчикова діаграма з накопиченням вище показує обидві поправки за страйками. Зверніть увагу:
Метод Сині стовпці (ванна) від'ємні ліворуч і додатні праворуч — це компонент скью.
Помаранчеві стовпці (волга) додатні всюди в крилах — це компонент кривизни.
Зелена лінія — сумарна поправка. На боці путів ванна та волга підсилюють одна одну (обидві додають премію). На боці коллів вони частково взаємно скасовуються (ванна віднімає, волга додає). Тому крила путів зазвичай крутіші за крила коллів.
Дески FX його люблять, дески акцій — ні
Ванна-Волга — домінантна модель усмішки на валютному ринку, бо ринок FX буквально котирує ATM, RR і BF. Вхідні дані моделі — рідна мова цього ринку. На ринках акцій і крипто котируються безпосередньо страйки, і трьохточкове припущення VV занадто жорстке.
Чому FX його любить: Міжбанківський ринок опціонів FX стандартизував конвенції котирування, які напряму відповідають вхідним даним Ванна-Волга. Дилер бачить ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 і одразу має три волатильності, потрібні для VV. Без етапу калібрування. Без оптимізатора. Лише алгебра.
Для ванільних опціонів FX на стандартних дельтах VV швидкий, точний і безарбітражний. Для екзотики першого покоління (one-touch, double no-touch) VV дає швидкі приблизні ціни, напрочуд близькі до відповідей повних моделей.
Чому акції/крипто — ні: Біржові опціони на акції та крипто дають повну сітку цін за багатьма страйками й експіраціями. У вас набагато більше, ніж три точки даних. Підгонка трипараметричної моделі до тридцяти страйків викидає інформацію.
Гірше того, усмішка VV недостатньо гнучка, щоб відтворити реальні форми на ринках акцій і крипто. Круті короткострокові скью, опуклість крил, що змінюється з експірацією, часова структура метелика — нічого з цього три числа не охоплюють.
На тих ринках SVI, SSVI або SLV є кращим вибором, бо здатні увібрати все багатство спостережуваної поверхні.
Навіть на десках, які не використовують VV для продакшн-ціноутворення, він цінний як ментальна модель. «Цей опціон коштує більше, ніж за BS, через ванну та волгу» — це повне пояснення того, чому усмішки існують. Декомпозиція на скью (ванна) та кривизну (волга) допомагає трейдерам розуміти, що визначає ціну будь-якого опціону — навіть коли фактичне ціноутворення використовує складнішу модель.
Розширення: Базовий метод VV використовує 25-дельта еталони. Деякі дески розширюють його до п'яти точок (додаючи 10-дельта пут і колл), щоб краще охопити поведінку крил. Інші використовують «VV другого порядку», що включає греки вищих порядків. Але на цьому етапі ви будуєте складнішу модель, і краще вже використати SVI.
У крипто: Фреймворк VV іноді використовують для швидких прикидок — «скільки має коштувати цей OTM пут за ринкових RR і BF?» — але це не продакшн-модель. Поверхні волатильності крипто занадто шумні та занадто круті для трьохточкової інтерполяції. Цінність концептуальна, а не операційна.
Куди далі:
Блек-Шоулз — базова модель, яку коригує VV
Довідник греків — повний розгляд ванни, волги та інших чутливостей другого порядку
Параметризація SVI — альтернатива на основі страйків для усмішок акцій/крипто
Стохастична локальна волатильність — продакшн-модель ціноутворення екзотики