SVI з нуля

1/5

Розділ 1

Що таке SVI?

SVI розшифровується як Stochastic Volatility Inspired. Це формула з 5 параметрами, яка описує форму усмішки волатильності для однієї експірації.

Більшість моделей усмішки працюють у просторі імпліцитної волатильності. SVI інша: вона параметризує повну імпліцитну дисперсію як функцію лог-монейності. Це може здатися обхідним шляхом, але завдяки цьому арбітражні обмеження стають тривіально простими.

Формула:

Повна дисперсія SVI

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Пересувайте повзунки нижче, щоб побачити, як змінюється крива повної дисперсії. Вісь x — лог-монейність (від’ємна = пути поза грошима (OTM), додатна = колли поза грошима (OTM)). Вісь y — повна імпліцитна дисперсія.

Повна дисперсія w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Чому «повна дисперсія»?

Модель Блека-Шоулза використовує імпліцитну волатильність (σ_imp). Але волатильність залежить і від форми усмішки, і від часу до експірації. Повна дисперсія w = σ_imp² · T виносить час за дужки, залишаючи величину, що монотонно зростає зі строком. Саме ця монотонність потрібна для забезпечення відсутності календарного арбітражу.

Розділ 2

5 параметрів

Кожен параметр керує одним геометричним аспектом усмішки. Переглядайте їх по черзі та спостерігайте, що змінюється.

Пунктирна лінія — базова (типова усмішка з пут-скью). Суцільна кольорова лінія показує, що відбувається, коли ви змінюєте виділений параметр. Усе інше залишається незмінним.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

За замовчуванням: 0.040Пунктир = базова крива

Поведінка крил: далеко від ATM усмішка наближається до прямих ліній. Нахил пут-крила дорівнює b(1 − ρ), а нахил колл-крила — b(1 + ρ). За типового пут-скью (ρ < 0) ліве крило крутіше.

Асимптотичні нахили

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Ці обмежені лінійні крила — одна з ключових переваг SVI. Усмішка ніколи не екстраполюється до абсурдних значень.

Розділ 3

Від дисперсії до волатильності

SVI дає вам повну дисперсію w(k). Звична усмішка IV — лише на один квадратний корінь далі.

Від дисперсії до IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Поділіть повну дисперсію на час до експірації, потім візьміть квадратний корінь. Це дасть імпліцитну волатильність для кожного страйку.

Нижче обидві криві згенеровано з тих самих параметрів SVI. Ліва панель показує повну дисперсію (простір, у якому працює SVI). Права панель показує усмішку імпліцитної волатильності (простір, у якому мислять трейдери). Пересувайте повзунки та спостерігайте, як обидві оновлюються одночасно.

Повна дисперсія w(k)

Імпліцитна волатильність (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Зверніть увагу, що крива дисперсії гладкіша та більш «V-подібна», ніж крива волатильності. Квадратний корінь стискає великі значення та розтягує малі, тому усмішка волатильності виглядає більш заокругленою.

Чому це важливо для практиків: під час підгонки SVI ви оптимізуєте у просторі дисперсії (де живе формула), але якість підгонки оцінюєте за залишками IV (де котирують трейдери).

Розділ 4

Обмеження безарбітражності

Не всі комбінації параметрів SVI є допустимими. Деякі створюють усмішки, що порушують умови безарбітражності. Скористайтеся віджетом нижче, щоб знайти межу.

Є три ключові обмеження. Коли будь-яке з них порушено, існує можливість безризикового прибутку — а отже, усмішка не може бути справжньою ринковою ціною ризику.

Обмеження метелика

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Запобігає від’ємній локальній дисперсії. Якщо цю умову порушено, спреди-метелики мають від’ємну вартість — безкоштовні гроші.

Невід’ємний мінімум

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

Мінімум усмішки має бути вище нуля. Від’ємна повна дисперсія фізично неможлива.

Формула моментів Roger Lee

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Обмежує швидкість зростання крил. На практиці обмеження метелика жорсткіше для короткострокових опціонів.

Спробуйте пресети нижче, потім пересувайте повзунки, щоб побачити межі. Крива стає червоною, коли будь-яке обмеження порушено.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Арбітражу немає — цей смайл безпечний

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Розділ 5

Калібрування

Маючи спостережені на ринку імпліцитні волатильності, знайдіть 5 параметрів SVI, які найкраще їх відтворюють. Спробуйте вручну.

Оранжеві кола — синтетичні ринкові котирування, реалістична усмішка BTC при 30 DTE. Зелена крива — підгонка SVI. Вертикальні лінії показують залишок (похибку) в кожній точці.

Налаштуйте повзунки, щоб мінімізувати RMSE. Натисніть «Показати найкращу підгонку», щоб побачити близький до оптимального набір параметрів.

RMSE44.82%(Погано)

Апроксимація SVIРинкові даніЗалишок

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

На практиці: чисельний оптимізатор (Levenberg-Marquardt або SLSQP) робить це менш ніж за 10 мс на експірацію. Оптимізатор мінімізує зважену суму квадратів залишків, дотримуючись арбітражних обмежень із Розділу 4.

Ініціалізація має значення: невдале початкове наближення може загнати оптимізатор у локальний мінімум. Поширений підхід: задати a з дисперсії ATM, b — зі спостереженого нахилу крила, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Що далі:

Довідкова сторінка SVI — повна таблиця параметрів, деталі підгонки, варіанти

ORC Wing (Jump-Wing) — SVI, перепараметризована для трейдерів

SSVI — розширення SVI на всю поверхню