Стохастична локальна волатильність з нуля

1/5

Розділ 1

Локальна волатильність дає правильні ціни, але неправильну динаміку

Модель локальної волатильності Dupire робить щось чудове: вона ідеально калібрується під кожну ціну ванільного опціону на ринку одночасно. Нульова похибка калібрування. Заковика в тому, що відбувається далі.

Локальна волатильність призначає унікальну волатильність σ(S, t) кожному рівню споту та кожному моменту часу. За заданою спостережуваною поверхнею цін ванільних опціонів існує рівно одна функція локальної волатильності, яка відтворює їх усі. Побудова детермінована -- без оптимізації, без залишкової похибки.

Локальна волатильність Dupire

dS = σ_loc(S, t) · S · dW

Один броунівський рух. Одне СДР. Увесь смайл закодовано у функції σ_loc(S, t).

То що ж не так? Динаміка. Локальна волатильність прогнозує, як смайл еволюціонуватиме зі зміною споту, і цей прогноз дуже помилковий.

Коли спот падає на 5%, локальна волатильність каже, що смайл має сплощитися на лівому крилі. Модель бачить нижчий спот і звертається до іншого зрізу σ_loc, який там виявляється пласкішим. Але на реальних ринках відбувається протилежне: розпродаж на 5% робить смайл крутішим оскільки реалізована волатильність зростає, а попит на захист від падіння збільшується.

Ментальна модель

Локальна волатильність — це ідеальна фотографія сьогоднішньої усмішки. Але фотографії не рухаються. Коли спот зсувається, локальна волатильність прогнозує нову усмішку, дивлячись на інший стовпець у тій самій статичній таблиці. Тим часом ринок переоцінив усю таблицю.

Це важливо для екзотичних опціонів. Бар'єрний опціон залежить від того, як виглядатиме смайл, коли спот наблизиться до бар'єра -- а не лише від того, як він виглядає сьогодні. Якщо ваша модель прогнозує неправильний майбутній смайл, вона неправильно оцінює бар'єрний опціон і неправильно його хеджує.

Розділ 2

Стохастична волатильність дає правильну динаміку, але неправильні ціни

Heston, SABR та їхні родичі трактують волатильність як випадкову величину з власним стохастичним процесом. Це створює реалістичну еволюцію усмішки: коли спот падає, волатильність зростає, і усмішка стає крутішою. Але підгонка під сьогоднішні ванільні ціни у найкращому випадку приблизна.

Модель на кшталт Heston має п'ять вільних параметрів. П'ять чисел не можуть одночасно відповідати сотням спостережуваних цін опціонів за всіма страйками та експіраціями. Підгонка -- завжди компроміс: прийнятна біля ATM, дедалі гірша на крилах.

Можна додати більше параметрів (подвійний Heston, Bates зі стрибками), але розрив ніколи не закривається повністю. Завжди залишається калібрувальний залишок. Для оцінки ванільних опціонів і маркетмейкінгу цей залишок -- це втрачені гроші.

Усмішка після руху споту на −5%: три прогнози

Prices right, dynamics wrong

Dynamics right, prices wrong

Best of both worlds

Поточна усмішка

Прогнозована усмішка після руху споту

Три панелі вище розповідають усю історію. Після падіння споту на 5%:

Локальна волатильність прогнозує, що смайл сплощиться -- неправильно.

Стохастична волатильність прогнозує, що усмішка стане крутішою -- вірно, але зверніть увагу, що вона від початку не збігалася ідеально із сьогоднішньою усмішкою.

SLV дає обидва результати: починає з ідеальної підгонки сьогодні та реалістично еволюціонує.

Дилема трейдера

Якщо ви котируєте ванільні опціони, перемагає локальна волатильність -- вона оцінює їх точно. Якщо вас цікавить, як поводитиметься ваш портфель зі зміною споту, перемагає стохастична волатильність -- вона прогнозує реалістичні греки. Для оцінки екзотичних опціонів потрібно і те, й інше. Саме тут з'являється SLV.

Розділ 3

SLV поєднує обидва підходи

Стохастична локальна волатильність запускає два двигуни паралельно. Компонент локальної волатильності відповідає за калібрування. Стохастичний компонент додає реалістичну динаміку. Коефіцієнт змішування α контролює суміш.

Система SLV

dS = σ_loc(S, t) · L(S, t) · S · dW₁

dL = ν · L · dW₂

First line: дифузія спот поєднує функцію локальної волатильності σ_loc зі стохастичним важелем L.
Second line: L слідує власній дифузії, керованій vol-of-vol ν.
Special cases: коли ν = 0, L є детермінованим, і ви відновлюєте чисту локальну волатильність. Коли σ_loc є сталим, ви відновлюєте чисту стохастичну волатильність. Коефіцієнт змішування α контролює, яка частина загальної дисперсії надходить від кожного компонента.

Інтуїція: σ_loc(S, t) -- це функція Dupire, яка вже калібрується до ринку. Множення на стохастичний L збурює динаміку, не руйнуючи калібрування -- за умови, що L відкалібровано так, щоб збурення усереднювалося. Саме це калібрування L і виконує функція левериджу.

Коефіцієнт змішування α (часто вбудований у параметр vol-of-vol) визначає, скільки випадковості переходить у L, а скільки залишається в σ_loc. На одному екстремумі (α = 0) вся дисперсія пояснюється локальною волатильністю, а динаміка усмішки є детермінованою. На іншому екстремумі (α = 1) локальна волатильність є плоскою, і стохастичний процес керує всім.

Дослідник коефіцієнта змішування

α (змішування)0.50

α=0: чиста локальна вол.α=1: чиста стохастична вол.

Поточна усмішка

Прогноз усмішки після руху споту на −5%

Потягніть повзунок вище. Спостерігайте за прогнозованим майбутнім смайлом:

α = 0 (чиста локальна волатильність): Майбутній смайл ледве зміщується відносно сьогоднішнього. Ліве крило трохи сплощується. Це патологія локальної волатильності.

α = 1 (чиста стохастична волатильність): Майбутній смайл різко стає крутішим. Волатильність стрибає вгору по всьому діапазону. Це реалістично, але може бути надмірною корекцією.

α = 0.5 (збалансовано): Золота середина. Смайл стає крутішим, але помірно. Саме тут опиняється більшість продакшн-калібрувань.

Розділ 4

Функція левериджу

L(S, t) -- це клей калібрування. Вона обчислюється так, щоб очікувана локальна волатильність -- усереднена за всіма стохастичними траєкторіями -- відповідала ринку. Коли змішування збалансоване, L усюди залишається близькою до 1. Коли один компонент домінує, L мусить працювати більше.

Формально L(S, t) визначається умовою:

Калібрування функції левериджу

σ_loc(S, t)² = E[σ_loc(S, t)² · L(S, t)² | S_t = S]

Очікувана ефективна дисперсія за умови заданого споту має дорівнювати локальній дисперсії Dupire. Це фіксує L у кожній точці (S, t).

На практиці L обчислюється чисельно за допомогою прямого PDE (Fokker-Planck) або методу частинок (Monte Carlo з оцінкою щільності). Пряме PDE поширює спільну щільність (S, L) уперед у часі та витягує L у кожному вузлі сітки. Метод частинок симулює багато траєкторій, групує їх за рівнем споту та розв'язує L у кожній групі.

Ключове розуміння: коли α є близьким до 0.5, L є близьким до 1 усюди, оскільки обидва компоненти рівномірно розподіляють навантаження. Коли α є близьким до 0 або 1, L набуває структури -- піки на крилах, впадини поблизу ATM -- оскільки один компонент виконує майже всю роботу, і L має це компенсувати.

Теплова карта функції левериджу

α (змішування)0.50

Збалансоване змішування (α ≈ 0.5): L залишається близько 1. Екстремальне змішування: L відхиляється для компенсації.

Теплова карта вище показує L(S, t) за спотом і часом. Потягніть повзунок змішування та спостерігайте:

Збалансований (α ≈ 0.5): Однорідний темний колір. L приблизно дорівнює 1 усюди. Обидва компоненти роблять однаковий внесок. Це ідеальна робоча точка.

Домінує локальна волатильність (α ≈ 0): У L з'являються теплі (помаранчеві/червоні) плями на крилах. Стохастичний компонент має мало власної дисперсії, тому L мусить тяжко працювати, щоб відповідати ринку.

Домінує стохастична волатильність (α ≈ 1): У L з'являються холодні (сині) плями. Стохастичний компонент у деяких зонах перестрибує, і L мусить його стримувати.

Розділ 5

Стандарт оцінки екзотичних опціонів

SLV -- це те, що великі банки реально використовують для бар'єрних, азійських опціонів і клікетів. Це продакшн-стандарт, бо це єдина модель, яка одночасно калібрується до ванільних опціонів і дає обґрунтовані ціни екзотичних.

Бар'єрні опціони. Опціон нок-аут припиняє існування, коли спот досягає бар'єра. Його вартість критично залежить від того, як виглядає смайл біля рівня бар'єра. Локальна волатильність дає там неправильний смайл. Стохастична волатильність дає правильну динаміку, але неправильні початкові ціни. SLV дає і те, й інше -- і підсумкова ціна бар'єрного опціона може відрізнятися від локальної волатильності на кілька відсотків номіналу.

Азійські опціони. Азійський опціон усереднює спот за певний період. Усереднення послаблює вплив динаміки смайлу, тому різниця SLV проти локальної волатильності тут менша. Але вона все ж ненульова, і дески, що торгують великими номіналами, це враховують.

Клікети. Опціони з відкладеним стартом, які періодично скидаються. Вони надзвичайно чутливі до форвардної усмішки -- як виглядатиме усмішка на кожну дату скидання. Перевага SLV тут найбільша, тому що кліке по суті є ставкою на динаміку усмішки.

Ціна складності

SLV не безкоштовна. Функцію левериджу треба перераховувати щоразу, коли змінюються параметри стохастичної волатильності, що робить калібрування ітеративним процесом: підігнати параметри стохастичної волатильності, обчислити L, перевірити відповідність ванільним опціонам, скоригувати, повторити. Цей зовнішній цикл обчислювально дорогий і вносить модельний ризик у вибір α.

Вибір коефіцієнта змішування сам по собі є суб'єктивним рішенням. Різні α значення дають різні ціни екзотичних опціонів, водночас відповідаючи тим самим ванільним. Банки зазвичай встановлюють α шляхом калібрування до ліквідних екзотичних угод (наприклад, бар'єрних реверсів у FX) або на основі експертної оцінки того, наскільки важливою є динаміка усмішки для їхнього портфеля.

Модельний ризик. Коефіцієнт змішування -- найважливіший параметр модельного ризику в продакшн-оцінці екзотичних опціонів. Два дески, що використовують SLV з різними значеннями α, погодяться щодо кожного ванільного опціона, але не погодяться щодо бар'єрних. Це не помилка -- це відображає справжню невизначеність щодо того, як еволюціонуватиме смайл.

У крипто: SLV менш поширена, бо ринок екзотичних опціонів менший, а сама ванільна поверхня зашумлена. Більшість криптодесків використовують SVI або SSVI для підгонки поверхні та локальну волатильність або пряму симуляцію для продуктів, залежних від траєкторії. Із дозріванням ринку крипто-опціонів SLV ставатиме актуальнішою.

Куди рухатися далі:

Local Volatility -- модель Dupire у деталях

Heston Model -- найпоширеніший двигун стохастичної волатильності всередині SLV

SABR Model -- стохастична волатильність без повернення до середнього, популярна на ринку ставок

Vanna-Volga -- простіша побудова смайлу з трьох ринкових котирувань