SSVI з нуля

1/4

Розділ 1

Від SVI до SSVI

SVI підганяє одну усмішку волатильності на одній експірації. Робить це добре -- п'ять параметрів, чиста форма. Але поверхня волатильності складається з багатьох експірацій. Незалежна підгонка кожного зрізу створює проблему.

Коли ви підганяєте кожен зріз власними параметрами SVI, ніщо не гарантує, що загальна дисперсія зростає від однієї експірації до наступної на кожному страйку. Якщо це не так, у вас є календарний арбітраж -- угода з безкоштовним прибутком, де ви продаєте короткостроковий опціон і купуєте довгостроковий.

SSVI вирішує це, будуючи всю поверхню з єдиної параметризації. Замість 5 параметрів на зріз уся поверхня визначається:

Дві ключові складові

θ(t) = повна дисперсія ATM у момент t

φ(θ) = функція скью ATM (керує крутизною усмішки)

θ(t) спостерігається безпосередньо з цін ATM опціонів. φ(θ) кодує, як форма усмішки змінюється зі строком. Разом із єдиним параметром скью ρ, вони визначають усю поверхню.

Аналогія

Уявіть SVI для окремих зрізів як будівлю, де кожен поверх має власного архітектора. Кожен поверх може виглядати чудово, але сходи між поверхами можуть не збігатися. SSVI наймає одного архітектора для всієї будівлі -- окремі поверхи трохи менш індивідуальні, але все з'єднується.

Розділ 2

Параметризація SSVI

Одна формула. Три параметри. Пересувайте повзунки нижче і спостерігайте, як усмішка змінює форму.

Повна дисперсія SSVI

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k -- це лог-монейність (ln(K/F)). При k=0 ви на грошах (ATM). Від'ємне k -- це колли у грошах (пути OTM).

Поекспериментуйте з кожним параметром, щоб зрозуміти, чим він керує:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ зсуває загальний рівень -- вища дисперсія ATM означає, що вся усмішка рухається вгору. ρ нахиляє усмішку -- від'ємне ρ створює путовий скью, якого очікують трейдери. φ керує шириною крил.

Розділ 3

Календарний арбітраж

Головна мета SSVI: відсутність календарного арбітражу за побудовою. Але лише якщо φ обрано правильно.

Календарний арбітраж означає, що повна дисперсія на певному страйку зменшується від коротшої експірації до довшої. У справедливому ринку такого не буває -- це дало б вам безкоштовний прибуток.

Нижче порівняйте поганий вибір φ (константа, ігнорує строк) із хорошою степеневою формою. Перетягніть повзунок на лівій панелі і слідкуйте за індикатором порушення.

Стала phi = 3.0Порушень немає

phi3.0

Стала phi ігнорує строк до експірації. Усмішка залишається однаково крутою на кожній експірації, через що на деяких страйках сумарна дисперсія може зменшуватися з переходом до довших строків.

Степенева phi(theta)Порушень немає

Степенева phi спадає зі зростанням theta, вирівнюючи усмішку на довших строках. Сумарна дисперсія монотонно зростає в часі на кожному страйку — календарного арбітражу немає.

Константне φ зберігає однакову крутизну усмішки на кожній експірації. Коли θ зростає, крута усмішка піднімає повну дисперсію на крилах вище, ніж має бути для коротких строків, але недостатньо високо для довгих -- створюючи перетини.

Степеневе φ спадає, коли θ зростає, природно вирівнюючи усмішку на довших строках. Це гарантує, що w(k, θ) монотонно зростає за θ при кожному k.

Розділ 4

Степенева форма

Два параметри керують усією поверхнею. Це винагорода за всі обмеження, які накладає SSVI.

Степенева φ

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 керує загальною амплітудою усмішки. γ ∈ [0, 1] керує швидкістю вирівнювання усмішки зі строком. Відсутність календарного арбітражу вимагає η(1 + |ρ|) < 2.

Пересувайте повзунки нижче. Слідкуйте за змінами теплової карти -- вісь x -- лог-монейність, вісь y -- експірація, а колір -- імпліцитна волатильність.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

Поверхня імпліцитної волатильності SSVI

Експірація (роки)

1.00.530.05

-0.800.8

Лог-монейність (k)

IV

19%51%

η масштабує амплітуду усмішки скрізь. Збільште його -- і крила розширяться на всіх експіраціях. γ змінює, як швидко усмішка вирівнюється зі строком. Низьке γ означає, що довгострокові усмішки лишаються крутими; високе γ змушує їх швидко вирівнюватися.

Три параметри (ρ, η, γ) плюс спостережувана крива дисперсії ATM θ(t). Це вся поверхня. Порівняйте це з 25+ параметрами для п'яти зрізів SVI для окремих зрізів.

Куди далі:

Довідник SSVI -- повна формула, поради з підгонки та порівняльна таблиця

Параметризація SVI -- модель окремих зрізів, яку розширює SSVI

Як будуються поверхні -- продакшн-конвеєр