SANOS з нуля
1/5Параметричні моделі мають упередження форми
Кожна параметрична модель — SVI, SABR, поліноміальні підгонки — починається з вибору сімейства формул. Це сімейство визначає, які форми можливі ще до того, як ви поглянете на хоч одне ринкове котирування.
SVI має п'ять параметрів. Це дає п'ять ступенів свободи для відповідності ринковій усмішці. Для ліквідних, спокійних ринків п'яти зазвичай достатньо. Усмішка гладка, приблизно параболічна, і SVI чудово її відтворює.
Але ринки не завжди поводяться спокійно. Звітна подія, експлойт протоколу, регуляторний заголовок — усе це може створювати локальні горби імпліцитної волатильності на окремих страйках. П'ятипараметрична крива не може створити горб на K=90, залишаючись пласкою всюди інде. Їй довелося б викривити всю криву, щоб врахувати одну локальну особливість.
SANOS використовує протилежний підхід. Замість вибору сімейства формул він розміщує значення в кожному вузлі сітки і дозволяє даним визначати форму поверхні. Єдині вимоги: вона має бути гладкою, безарбітражною і поважати спостережувані котирування бід/аск.
SVI — це як підгонка гнучкої лінійки-шаблона до набору точок: лінійка може вигинатися, але не може утворити злам. SANOS — це як накладання гнучкої сітки на точки, де кожне перетинання може рухатися незалежно. Сітка може захопити локальні особливості, які лінійці недоступні.
Сітка замінює формулу
У SANOS поверхня волатильності визначається сіткою вузлів: одне значення на кожному перетині (страйк, експірація). 9 страйків і 5 експірацій дають 45 вільних змінних. Масштабуйте до 20 страйків і 5 експірацій — і матимете 100.
Кожен вузол містить значення повної дисперсії (або, еквівалентно, імпліцитну волатильність). Поверхня між вузлами інтерполюється. Ключова відмінність від параметричних моделей: немає формули, що пов'язує ці значення між собою. Кожен вузол — вільна змінна, обмежена лише безарбітражністю та гладкістю.
Нижче сітка показує значення імпліцитної волатильності за страйками та експіраціями. Зверніть увагу на локальний горб біля K=90, T=0.25 — саме таку особливість параметрична модель пропустила б. Права панель показує усмішку на обраній експірації з накладеною найкращою підгонкою SVI для порівняння.
Клікніть будь-яку комірку, щоб змінити її волатильність. Спостерігайте, як усмішка SANOS (зелена) відхиляється від SVI (жовта пунктирна) там, де сітка захоплює локальну структуру. SVI змушена залишатися гладкою глобально; сітка може слідувати за даними точка за точкою.
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
Безарбітражність як лінійні обмеження
Зі 100 вільними змінними потрібні запобіжники. SANOS отримує їх зі статичних умов безарбітражності, виражених як лінійні нерівності на значеннях сітки.
Два ключові обмеження:
Обмеження календарного спреду. Повна дисперсія (w = σ^2 × T) має бути неспадною за T для кожного страйка. Якби вона спадала, ви могли б продати короткостроковий опціон і купити довгостроковий на тому ж страйку задля безризикового прибутку. На сітці це означає, що кожен стовпець має зростати згори донизу.
Обмеження спреду «метелик». Ціни коллів мають бути опуклими за страйком на кожній експірації. Еквівалентно, друга різниця повної дисперсії між сусідніми страйками має бути невід'ємною. Це запобігає від'ємній щільності ймовірності — фізичній неможливості.
Обидва обмеження є лінійними за значеннями сітки. Календар: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. Жодних нелінійних членів, жодного складного зв'язку. Лише нерівності, які ви можете передати лінійному розв'язувачу.
Це глибока перевага роботи в просторі повної дисперсії на сітці: умови безарбітражності, які були б нелінійними в імпліцитній волатильності, стають лінійними в повній дисперсії. Уся задача побудови поверхні залишається у сфері лінійного програмування.
Лінійне програмування знаходить відповідь
Зберіть усі частини: значення вузлів як невідомі, межі бід/аск як коробкові обмеження, безарбітражність як лінійні нерівності, гладкість як цільову функцію. Усе разом — це задача лінійного програмування.
LP має вирішальну властивість: жодних локальних мінімумів. Допустима область — опуклий політоп, і оптимум завжди у вершині. На відміну від калібрування SVI (яке є нелінійним і може застрягти в локальних мінімумах залежно від ініціалізації), LP завжди знаходить глобальний оптимум.
Котирування бід/аск задають коробкові обмеження: на кожному спостережуваному страйку повна дисперсія має лежати між значеннями, імплікованими бідом і аском. Що вужчий спред, то менша коробка. Що ширший спред, то більше свободи має SANOS для пошуку гладкої безарбітражної поверхні.
Спостерігайте, як допустима область (зелена) звужується з додаванням обмежень. Додатність, календар, метелик і бід/аск — кожне відсікає неможливі поверхні. Розв'язок LP (жовта точка) розміщений у вершині фінального політопа. Ця вершина гарантовано є найгладкішою безарбітражною поверхнею, узгодженою з усіма даними.
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
Коли SANOS виграє, а коли — ні
SANOS не завжди кращий за параметричні моделі. Він має конкретну нішу, і знати, коли його використовувати, важливіше, ніж знати, як він працює.
SANOS виграє, коли:
Розріджені дані. Коли у вас 5 котирувань, а потрібна повна поверхня, параметричні моделі мають труднощі, бо точок недостатньо для визначення параметрів. SANOS може побудувати поверхню з розріджених даних, оскільки безарбітражні обмеження самі надають інформацію — вони звужують допустиму множину навіть без ринкових котирувань.
Широкі спреди бід/аск. Параметричні підгонки за середніми цінами можуть давати безарбітражні поверхні, що лежать поза межами бід/аск. SANOS трактує спред як особливість, а не шум. Що ширший спред, то більше свободи для пошуку гладкої безарбітражної поверхні.
Локальні особливості. Горби волатильності, спричинені подіями, злами від концентрованого позиціонування, ефекти, специфічні для окремих експірацій. Будь-яка структура, яку п'ятипараметрична формула не може виразити.
Розширте повзунок спреду і спостерігайте, як підгонка SANOS (зелена) розходиться із серединою (помаранчева пунктирна). Обидві проходять через стовпчики бід/аск, але SANOS використовує додаткову свободу, щоб залишатися гладкішою. Коли спреди вузькі, дві підгонки збігаються.
SANOS програє, коли:
Відсутність динамічної інтерпретації. Параметри SVI (a, b, rho, m, sigma) мають економічний зміст: загальна дисперсія, величина скью, кореляція, зсув. Вузли SANOS — просто числа на сітці. Ви втрачаєте можливість сказати «скью зріс на 0.02» — можете лише сказати «ці 20 вузлів змістилися».
Зберігання та передавання. Поверхня SVI — це 5 чисел на кожну експірацію: тривіально зберігати й передавати. Поверхня SANOS — сотні значень вузлів. Для баз даних, кешів і мережевих протоколів це має значення.
Перевірена часом репутація. SVI використовується понад 20 років. SANOS новіший. У продакшн-системах, де важливі надійність і знайомство команди з інструментом, це реальна ціна.
Практична схема: використовуйте SANOS для підгонки та ціноутворення (де важлива локальна точність), а SVI — для зберігання та передавання (де важлива компактність). Вони доповнюють одне одного.
Куди рухатися далі:
Параметризація SVI — параметрична модель, яку SANOS покликаний доповнювати
Модель SABR — модель стохастичної волатильності з динамічною інтерпретацією
Локальна волатильність з нуля — як поверхня локальної волатильності витягується з імпліцитної волатильності
Методи інтерполяції — порівняння всіх методів