SABR з нуля

1/5

Розділ 1

SABR надає волатильності власний процес

У моделі Блека-Шоулза волатильність — константа. У реальному світі волатильність рухається — і рухається разом зі спотом. SABR враховує обидва ці факти.

Модель SABR — це система двох пов'язаних SDE. Форвардна ціна F та стохастична волатильність σ еволюціонують разом:

Система SDE моделі SABR

dF = σ·Fᵝ·dW₁
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ

F — форвардна ціна. σ — стохастична волатильність (має власний броунівський рух). α — волатильність волатильності (як швидко σ рухається). β — показник бекбона (як волатильність масштабується з ціною). ρ — кореляція між рухами спота і волатильності.

Чотири параметри, кожен з окремим ринковим значенням. α — це волатильність волатильності: вона контролює, наскільки агресивно коливається сама волатильність. β — це бекбон: він визначає, чи поводиться процес більше як геометричний броунівський рух (β=1), чи як арифметичний броунівський рух (β=0). ρ — це кореляція між рухами спота і волатильності: коли спот падає, чи зростає волатильність? (Для акцій/крипто — так: ρ < 0.)

Ключова ідея: волатильність не просто невідома — вона випадкова і корельована з базовим активом. Одна ця ідея генерує реалістичні смайли без потреби в цілій поверхні параметрів.

Чому трейдери використовують SABR

SABR народився у світі процентних ставок (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Кожен деск свопціонів використовує його для інтерполяції між котированими страйками. Причина проста: чотири параметри на кожну експірацію, кожен відповідає чомусь спостережуваному, і ви отримуєте аналітичну формулу для імпліцитної волатильності. Монте-Карло для смайла не потрібне.

Розділ 2

β контролює бекбон

Показник β визначає, як миттєва волатильність масштабується з рівнем форварда. Він задає характер базового процесу ще до того, як у гру вступають волатильність волатильності чи кореляція.

β = 1 (лог-нормальний): Відсоткові рухи мають сталий розмір. Якщо BTC на рівні 60k, рух на 1% — це $600. Якщо BTC на рівні 30k, рух на 1% — це $300. Доларова волатильність масштабується з ціною. Це класичне припущення GBM.

β = 0 (нормальний): Доларові рухи мають сталий розмір. Незалежно від того, ставка 2% чи 5%, денне стандартне відхилення у базисних пунктах однакове. Це типово для ринків процентних ставок.

β = 0.5 (типу CIR): Компроміс. Волатильність масштабується з квадратним коренем ціни. Популярний для крипто та FX, де жодна крайність не підходить ідеально.

Пересуньте β нижче і спостерігайте за трьома еталонними смайлами. При β=1 смайл відносно симетричний у лог-монейності. При β=0 профіль скью змінюється кардинально. Бекбон визначає, як смайл зсувається при русі спота — саме так β пов'язана з поведінкою sticky-strike та sticky-delta.

β бекбон0.50 (CIR / квадратний корінь)

Посуньте повзунок, щоб побачити, як змінюється характер бекбона

CIR / квадратний корінь: Процес CIR / квадратного кореня. dF = σ·√F·dW — волатильність масштабується як квадратний корінь ціни.

Активна (\u03B2=0.50)Нормальний (β=0)CIR (β=0.5)Логнормальний (β=1)

На практиці β часто фіксують, а не підганяють. Дески процентних ставок зазвичай використовують β=0.5 або β=0. Дески акцій та крипто часто використовують β=1. Причина: β важко відокремити від ρ під час калібрування на одній експірації. Зафіксувати β і дозволити трьом іншим параметрам поглинути смайл — стандартна практика.

Розділ 3

Апроксимація Hagan

Причина, чому SABR захопив торгівлю процентними ставками: Hagan зі співавторами вивели апроксимацію в закритій формі для імпліцитної волатильності Блека-Шоулза як функції страйка. Без розв'язання PDE, без симуляцій — просто формула.

Формула Hagan (спрощена структура)

σ_BS(K) ≈ [α / (FK)⁽¹⁻β⁾²]· [z/x(z)]· [1 + corrections · T]

Три множники, перемножені разом: Базовий рівень — задається α та β, це ATM-волатильність. Відношення z/x(z) — несе скью від ρ та залежність від страйка. Часові поправки — малі корекції, пропорційні T, від ρ, α, та β.

Складені стовпчики нижче розкладають імпліцитну волатильність для кожного страйка на три адитивні складові. Зелена база — рівень ATM-волатильності (те, що ви отримали б при ρ=0 та ν=0 — чистий CEV). Помаранчевий шар — поправка на скью першого порядку від ρ. Синій шар — поправка на опуклість від ν (волатильність волатильності).

На грошах (ATM) поправки на скью та опуклість приблизно нульові — домінує база. У крилах поправки зростають. Пересувайте повзунки, щоб побачити, як кожен параметр контролює свій шар.

α рівень волатильності0.25

Задає базову висоту кожного стовпчика

ρ скью-0.30

Нахиляє помаранчевий шар скью ліворуч або праворуч

ν волатильність волатильності0.40

Збільшує синій шар опуклості на крилах

База (ATM)Скью (ρ)Опуклість (ν)

Зверніть увагу, як помаранчеві стовпчики скью змінюють знак: вони додатні з одного боку і від'ємні з іншого (коли ρ ≠ 0). Сині стовпчики опуклості завжди додатні в крилах, додаючи премію як глибоким путам, так і глибоким коллам.

Розділ 4

ρ та ν формують смайл

Щойно β та α задають бекбон і загальний рівень волатильності, форму смайла контролюють два параметри: ρ (кореляція) нахиляє смайл, а ν (волатильність волатильності) вигинає його.

ρ — це регулятор скью. Коли ρ < 0, падіння спота супроводжуються зростанням волатильності — пути стають дорожчими за колли. Коли ρ > 0, навпаки: колли дорожчі. При ρ = 0 смайл симетричний (за умови β=1 або в координатах лог-монейності).

ν — це регулятор кривизни. Вища волатильність волатильності означає, що сама волатильність більш мінлива, тому обидва крила стають дорожчими. Смайл ширшає, а ексцес термінального розподілу зростає. При ν = 0 смайла немає взагалі — ви повертаєтеся до чистої моделі CEV.

Дві панелі нижче ізолюють кожен ефект. Ліворуч: зафіксуйте ν, пересувайте ρ. Праворуч: зафіксуйте ρ, пересувайте ν. Пунктирна лінія — еталон (ρ=0 або ν=0).

ρ визначає напрямок скью

ρ кореляція-0.30

Від'ємне нахиляє вліво, додатне — вправо

ν визначає кривизну усмішки

ν vol of vol0.40

Вище = ширша усмішка, крутіші крила

ρ = -0.30: Легкий скью: усмішка злегка нахиляється.
ν = 0.40: Помірний vol-of-vol: помітна кривизна на крилах.

Це розділення чудове для інтуїції, але недосконале на практиці. ρ та ν не повністю ортогональні — зміна одного зсуває оптимальне значення іншого під час калібрування. Але ментальна модель працює: ρ обертає смайл, ν роздуває його.

Розділ 5

Калібрування та підводні камені

Калібрування SABR означає знайти (α, ρ, ν), за яких смайл моделі відповідає ринковим IV — при цьому β зазвичай зафіксовано. Нижче спробуйте вручну підігнати модель до синтетичних ринкових даних.

Помаранчеві кружечки — «ринкові» імпліцитні волатильності. Зелена крива — ваша модель SABR. Вертикальні лінії показують залишки — розрив між моделлю та ринком для кожного страйка. Пересувайте повзунки, щоб мінімізувати SSE (суму квадратів похибок). Гарне калібрування зводить залишки до нуля скрізь, а не лише на ATM.

α рівень волатильності0.30

Зсуває всю криву моделі вгору/вниз

ρ скью0.00

Нахиляє криву моделі відповідно до ринкового скью

ν волатильність волатильності0.30

Керує кривизною для відповідності цінам на крилах

SSE10.0

Хороша підгонка

Підгонка моделіРинкові даніЗалишки

Кілька речей, які практики засвоюють швидко:

Апроксимація Hagan вибухає в крилах. Для глибоких OTM опціонів (скажімо, 10-дельтові пути на 2-річний свопціон) формула Hagan може давати імпліцитні волатильності, що стають від'ємними або злітають до абсурдних рівнів. Це сумнозвісна проблема «вибуху крил». Розв'язки включають безарбітражне формулювання SABR (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) або точні підходи на основі PDE.

Від'ємні ставки зламали стандартну модель. При β > 0 форвард F має бути додатним. Коли процентні ставки стали від'ємними (EUR, JPY, CHF), дески перейшли на shifted SABR: модель застосовують до (F + зсув), де зсув робить ефективний форвард додатним.

Для крипто β зазвичай фіксують на рівні 0.5 або 1.0. Криптовалютні поверхні волатильності мають екстремальний скью та товсті хвости. β=1 (лог-нормальний) — найпоширеніший вибір, оскільки крипто-ціни не можуть бути від'ємними. Деякі дески використовують β=0.5 для кращої підгонки в крилах.

SABR — модель для окремої експірації, а не для поверхні. Кожна експірація отримує власне калібрування (α, ρ, ν). Модель нічого не каже про те, як ці параметри еволюціонують між експіраціями. Для узгодженості часової структури потрібні додаткові обмеження або інший фреймворк (як-от SSVI чи локально-стохастична волатильність).

Куди рухатися далі:

Параметризація SVI — модель рівня поверхні з гарантіями відсутності арбітражу календарних спредів

Локальна волатильність — доповнювальний підхід: детермінована волатильність, що точно відповідає всім ванільним опціонам

Методи інтерполяції — порівняння всіх методів для смайла/поверхні