Модель SABR

інфо

Ця сторінка детально розглядає модель SABR. Щоб зрозуміти, як вона вписується в конвеєр побудови поверхні волатильності, див. Як будуються поверхні. Для порівняння з іншими методами див. Методи інтерполяції.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) — це модель стохастичної волатильності, представлена Хаганом, Кумаром, Лесневським та Вудвордом (2002). На відміну від SVI, яка описує форму усмішки, SABR описує динаміку, що її породжує. Усмішка випливає з моделі як наслідок того, як волатильність еволюціонує разом з базовим активом.

SABR — домінуюча модель для процентних свопціонів та кепів/флорів. Вона менш поширена в криптовалютах, де перевагу віддають SVI через простіше калібрування та кращу поведінку на крилах.

Досліджуйте параметри

Змінюйте кожен параметр, щоб побачити, як змінюється усмішка SABR. Увімкніть "Show backbone", щоб побачити криву лише з CEV (як виглядає усмішка без волатильності волатильності).

Дослідник усмішки SABR

Типова усмішка свопціонів на процентні ставки. Помірний скью, слабка кривизна.

α (рівень вол.)0.30

Поточна миттєва волатильність

β (бекбон)0.50

0 = нормальний, 0.5 = корінь, 1 = лог-нормальний

ρ (кореляція спот-вол)-0.30

Від'ємна = пут-скью (звичайно)

ν (вол-оф-вол)0.40

Керує шириною усмішки. 0 = без усмішки.

Увімкніть «Показати бекбон», щоб побачити криву лише CEV (без вол-оф-вол). Розрив між бекбоном і повною усмішкою — це внесок ν.

Що робить кожен параметр

• $\alpha$ (рівень волатильності): Поточна миттєва волатильність. Вищий $\alpha$ = вища загальна IV. Це параметр, який найчастіше перекалібровується.
• $\beta$ (backbone): Контролює, як волатильність масштабується з ціною базового активу. $\beta = 1$ означає, що процентна волатильність є сталою (логнормальна). $\beta = 0$ означає, що доларова волатильність є сталою (нормальна). $\beta = 0.5$ — проміжний варіант (квадратний корінь). На практиці $\beta$ зазвичай фіксується відповідно до ринкової конвенції, а не підбирається.
• $\rho$ (кореляція спот-волатильність): Контролює скью. Від'ємний $\rho$ означає, що волатильність зростає, коли базовий актив падає (звичайна поведінка в акціонерних ринках і криптовалютах). Додатний $\rho$ означає протилежне (рідкість).
• $\nu$ (волатильність волатильності): Контролює ширину усмішки. Коли $\nu = 0$, усмішки немає, лише той скью, який породжують $\beta$ і $\rho$ ("backbone"). Зі зростанням $\nu$ обидва крила піднімаються.

Backbone

Натисніть "Show backbone" у дослідникові вище. Пунктирна лінія — це усмішка з $\nu = 0$: без випадковості у волатильності, лише детерміністична модель CEV. Розрив між backbone та повною усмішкою — це внесок $\nu$ (волатильності волатильності). Ця декомпозиція є унікальною для SABR і дає трейдерам чітку інтуїцію щодо того, звідки береться кривина усмішки.

Калібрування

Стандартний підхід

1. Зафіксуйте $\beta$ відповідно до ринкової конвенції:

   • Процентні ставки: $\beta = 0.5$ (поширено) або $\beta = 0$ (нормальний SABR)
   • Акціонерні ринки: $\beta = 1$ (логнормальний)
   • Із зафіксованим $\beta$ модель має 3 вільні параметри.

2. Прив'яжіть $\alpha$ до ATM волатильності. Існує майже замкнута форма зв'язку між $\alpha$ та ATM імпліцитною волатильністю. Маючи спостережувану ATM IV, розв'яжіть рівняння щодо $\alpha$. Це зводить підгонку до 2 вільних параметрів.

3. Підберіть $\rho$ та $\nu$, мінімізуючи зважену похибку між усмішкою SABR та спостережуваними IV за різними страйками. З лише 2 параметрами це швидко і надійно.

Зважування

• ATM отримує найбільшу вагу (найбільш ліквідний, найбільш надійний)
• Опціони з вузькими спредами бід/аск отримують більшу вагу
• Глибокі OTM опціони отримують меншу вагу (наближення Хагана там менш точне)

Сильні сторони

Динамічна інтерпретація. SABR каже вам, як має рухатися усмішка, коли рухається базовий актив. За замовчуванням SABR породжує поведінку, подібну до sticky-delta: коли спот падає, волатильність зростає (якщо $\rho < 0$), і усмішка зсувається разом зі спотом. Це цінно для продуктів, де динаміка усмішки має значення для хеджування.

Декомпозиція через backbone. Розділення на backbone (скью, зумовлений $\beta$) та усмішку (кривина, зумовлена $\nu$) дає трейдерам чітку ментальну модель.

Ощадливість. Із зафіксованим $\beta$ та прив'язаним до ATM $\alpha$ ви підбираєте лише 2 параметри. Це швидко і залишає мало простору для перенавчання.

Обмеження

Проблеми на крилах. Наближення Хагана може породжувати від'ємну імпліцитну волатильність або від'ємну щільність ймовірності на далеких крилах. Це відома проблема. Продакшн-системи використовують виправлені формулювання (безарбітражний SABR або PDE-розв'язувач для екстремальних страйків).

Довгі терміни. Асимптотичне розкладання деградує для термінів понад 10-15 років. Замість нього використовуйте чисельний метод.

Статична підгонка, а не динамічне калібрування. Попри динамічну інтерпретацію SABR, на практиці кожна експірація підганяється незалежно (так само, як у SVI). Динамічна історія є радше бажаною, ніж операційно забезпеченою.

SABR проти SVI

	SABR	SVI
Що моделює	Динаміку, що породжує усмішку	Форму усмішки
Параметри	3 (із зафіксованим $\beta$)	5
Арбітраж	Формула Хагана може порушувати на крилах	Доступні чисті обмеження
Поведінка на крилах	Може ламатися для екстремальних страйків	Обмежені, лінійні асимптоти
Швидкість	Обчислення формули	Оптимізація
Найкраще для	Процентні ставки, FX	Акціонерні ринки, крипто

Ключова відмінність: SABR відповідає на питання "як усмішка рухається?", тоді як SVI відповідає на питання "як усмішка виглядає?" Для простого ціноутворення європейських опціонів та оцінки ризику простіше калібрування SVI та краща поведінка на крилах зазвичай перемагають. Для продуктів, де динаміка усмішки має значення (бермудські свопціони, бар'єрні опціони за sticky-delta), динамічна інтерпретація SABR є цінною.

Зв'язок з SVI

SABR може ініціалізувати підгонку SVI. Спочатку підгоніть SABR (швидка оптимізація з 2 параметрами), обчисліть усмішку SABR на багатьох страйках, потім підгоніть SVI до цих точок. Це дає SVI хорошу стартову точку, коли ринкові дані розріджені.

Побудова математичної інтуїції

Вивчіть SABR з нуляІнтерактивний урок · 4 параметри, 5 розділів

Інтерактивний урок вище розглядає чотири параметри SABR по одному: як альфа задає рівень волатильності, як ро нахиляє скью, як ню піднімає крила, і як бета контролює динаміку backbone. Кожен розділ має окремий повзунок, щоб ви могли ізолювати вплив одного параметра.

Реалізації з відкритим кодом

Репозиторій	Чому варто вивчити
QuantLib	Наближення Хагана для SABR + калібрування
pysabr	Реалізація SABR на чистому Python, зрозумілий код
OpenGamma Strata	SABR з інтерполяцією усмішки в продакшн-ризику

---

Див. також:

• Параметризація SVI - Модель, яку використовує Hypercall
• Локальна волатильність - Поверхня миттєвої волатильності Дюпіра
• Методи інтерполяції - Порівняння всіх методів
• Як будуються поверхні - Повний конвеєр