Rough Bergomi з нуля

1/5

Розділ 1

Волатильність має грубі траєкторії

Коли дослідники виміряли, як реалізована волатильність поводиться на високій частоті, вони виявили дещо, що ламає кожну класичну модель: автокореляція приростів волатильності спадає за степеневим законом, а не експоненційно. Траєкторії волатильності набагато більш зубчасті, ніж будь-хто припускав.

У моделях Heston, SABR або будь-якій моделі на основі дифузії процес дисперсії керується стандартним броунівським рухом. BM має показник Херста H = 0.5, що означає, що його прирости некорельовані. Отримані траєкторії неперервні, але достатньо гладкі, щоб їх можна було диференціювати "більшу частину часу" в інтуїтивному сенсі.

Gatheral, Jaisson і Rosenbaum (2018) виміряли реалізовану волатильність фондових індексів та окремих акцій. Вони дослідили, як автокореляція приростів лог-волатильності спадає зі зростанням лагу. Результат: вона спадає за степеневим законом, γ(k) ∼ k^2H−1, with H ≈ 0.1. Не H = 0.5. Не H = 0.3. H близький до нуля.

Ментальна модель

Уявіть проведення лінії за допомогою лінійки на противагу каракулям ручкою, коли хтось штовхає вас під лікоть. Класичні моделі використовують лінійку. Груба волатильність каже, що каракулі ближчі до реальності. Ручка постійно змінює напрямок на кожному масштабі часу, а не лише на частоті якогось процесу OU з поверненням до середнього.

Що означає H ≈ 0.1 на практиці? Прирости волатильності сильно антикорельовані. Якщо волатильність зросла за останні п'ять хвилин, більш імовірно, що вона знизиться протягом наступних п'яти. Ця постійна реверсія на кожному часовому масштабі — це те, що робить траєкторію грубою: зубчастою і фрактальною, схожою радше на берегову лінію, ніж на магістраль.

Це не вибір моделювання. Це емпіричний факт, що спостерігається на ринках акцій, індексів, FX і крипто. Універсальність H ≈ 0.1 є одним із найяскравіших відкриттів у сучасній фінансовій економетриці.

Автокореляція приростів

H0.10

2H−1 = -0.80 — Сильна антикореляція: грубі траєкторії

At H < 0.5 прирости мають від'ємну автокореляцію. Після руху вгору, ймовірно, слідує рух униз, що робить траєкторію нерівною. Це емпірична ознака грубої волатильності.

Перетягніть повзунок вище. При H = 0.5 автокореляція дорівнює нулю на всіх лагах -- стандартний BM, без пам'яті. Коли ви знижуєте H до 0.1, автокореляція стає сильно від'ємною. Прирости антикорельовані. Це і є грубість.

Розділ 2

Що контролює H

H — це показник Херста. Це єдине число, яке визначає, наскільки грубим або гладким виглядає стохастичний процес. Усе в теорії грубої волатильності випливає з того, що H значно менший за 0.5.

H = 0.5: Стандартний броунівський рух. Саме це використовує Heston. Прирости некорельовані. Траєкторії неперервні, але недиференційовні. "Стандартна" грубість, яку припускає класичні фінанси.

H < 0.5: Груба. Прирости антикорельовані. Чим нижче H, тим грубша траєкторія. При H = 0.1 траєкторії виглядають так, ніби їх намалював сейсмограф під час землетрусу. Кожне коливання вгору, ймовірно, супроводжується коливанням вниз, на кожному часовому масштабі.

H → 0: Надзвичайно груба. У граничному випадку траєкторія стає настільки зубчастою, що ледь неперервна. Для практичних цілей H ≈ 0.1 достатньо груба, щоб відповідати реальним ринкам.

H > 0.5: Гладка (персистентна). Прирости позитивно корельовані. Траєкторії мають тренд. Цей режим не стосується волатильності, але з'являється в деяких моделях гідрології та мережевого трафіку.

Фрактальний броунівський рух

W^H(t) = fBM with Hurst parameter H

Cov(W^H(t), W^H(s)) = ½(|t|^2H + |s|^2H − |t−s|^2H)

Коли H = 0.5, це зводиться до min(t, s) — коваріації стандартного BM. Коли H ≠ 0.5, структура коваріації змінюється: прирости набувають пам'яті.

Грубі та гладкі траєкторії дисперсії

H0.10

H = 0.10 — Дуже груба: зазубрені, реалістичні траєкторії волатильності

Верхня панель показує три траєкторії дисперсії поруч при H = 0.1, 0.3 та 0.5. Візуальна різниця разюча. При H = 0.5 траєкторія плавно звивається. При H = 0.1 вона виглядає як шум на екрані телевізора -- постійні розвороти, зубчасті піки.

Використовуйте повзунок на нижній панелі, щоб неперервно змінювати H. Спостерігайте, як траєкторія трансформується з гладкої на грубу, коли ви знижуєте H. Це не параметр певної моделі -- це вимірювана властивість реальних даних волатильності.

Розділ 3

Модель rough Bergomi

Bayer, Friz та Gatheral (2016) взяли емпіричний висновок про грубу волатильність і побудували навколо нього модель ціноутворення. Процес дисперсії керується фрактальним броунівським рухом замість стандартного BM. Результат є елегантним, ощадливим і немарковським.

Дисперсія rough Bergomi

v(t) = ξ₀(t) · exp(η · W^H(t) − ½η² · t^2H)

ξ₀(t): форвардна крива дисперсії. Зчитується безпосередньо з ринкових цін варіансних свопів. Це прив'язує модель до спостережуваної часової структури.
η (eta): vol-of-vol. Контролює, наскільки дисперсія відхиляється від форвардної кривої. Вище η = ширша посмішка.
W^H(t): фрактальний броунівський рух з експонентою Херста H. Це грубий драйвер.
−½η²t^2H: корекція опуклості, що забезпечує E[v(t)] = ξ₀(t). Модель автоматично калібрується до часової структури дисперсії.

Спотова ціна слідує звичайній логнормальній дифузії з миттєвою дисперсією v(t):

Динаміка спот-ціни

dS(t) = √v(t) · S(t) · dW(t)

corr(dW(t), dW^H(t)) = ρ

Спотовий броунівський рух W корельований з фрактальним драйвером W^H. Від'ємне ρ створює скью, той самий механізм, що й у Heston.

Порахуйте вільні параметри: H (експонента Херста), η (vol-of-vol) і ρ (кореляція спот-вол). Це всього три параметри, плюс форвардна крива дисперсії ξ₀(t), яка зчитується з ринку. Порівняйте з п'ятьма вільними параметрами Heston. Модель більш ощадлива.

Критична відмінність від Heston: ця модель не марковська. У Heston майбутнє дисперсії залежить лише від поточного рівня дисперсії. У rough Bergomi майбутнє залежить від усієї історії траєкторії. Фрактальний BM має вбудовану довгострокову залежність. Ви не можете підсумувати стан одним числом.

Марковська vs немарковська модель: історія має значення

Історія A: дисперсія зростала

Історія B: дисперсія знижувалася

Обидві траєкторії досягають одного й того самого рівня дисперсії в точці «NOW». У моделі Heston майбутні конуси перекриваються (історія забувається). У rough Bergomi траєкторія зі зростаючою історією має інший розподіл майбутнього, ніж траєкторія зі спадною історією.

Перемикайтеся між Markov та rough вище. Дві траєкторії дисперсії досягають одного рівня в момент часу "NOW," але вони дісталися туди різними шляхами. У Heston (Markov) їхні майбутні розподіли ідентичні -- модель не має пам'яті. У rough Bergomi траєкторія, що зростала, має інший майбутній конус, ніж траєкторія, що падала. Історія вбудована в динаміку.

Чому немарковість важлива для торгівлі

Якщо ви трейдер волатильності і бачите 30-денну реалізовану волатильність на рівні 45%, ви хочете знати: чи вона дісталася туди, стрибнувши з 20% (імовірно швидко повернеться до середнього), чи повільно піднімаючись з 40% (імовірно збережеться)? Heston не може розрізнити ці два сценарії. Rough Bergomi може. Історія траєкторії містить інформацію про майбутнє.

Розділ 4

Чому груба волатильність пояснює короткострокові усмішки

Вбивча сфера застосування теорії грубої волатильності: вона передбачає, що скью ATM масштабується як T^H−0.5. При H = 0.1 це означає, що скью різко зростає для коротких термінів — саме те, що показують крипто- і фондові ринки.

ATM скью — це нахил імпліцитної волатильності як функції логарифмічної монейності, обчислений на грошах. Кожна модель стохастичної волатильності передбачає певний зв'язок між цим скью та строком T:

Часова структура скью

|skew(T)| ∝ T^{H − 0.5}

H = 0.5 (Heston): skew ∝ T⁰ = константа. Скью не залежить від терміну. Занадто плоский на короткому кінці.
H = 0.1 (rough): skew ∝ T^−0.4. Скью вибухає при T → 0. Відповідає реальним даним.

Це кульмінація всієї програми грубої волатильності. Класичні моделі передбачають часову структуру скью, яка занадто пласка на ближньому кінці. Вони можуть відповідати 3-місячному скью, але мають труднощі з 1-тижневим або 1-денним скью. Трейдери роками знали, що короткострокові усмішки крутіші, ніж передбачає Heston. Груба волатильність пояснює чому: грубість базового процесу дисперсії безпосередньо контролює, наскільки швидко зростає скью, коли строк скорочується.

Часова структура ATM-скью

H = 0.1: skew ∝ T^-0.4

H = 0.3: skew ∝ T^-0.2

H = 0.5: skew ∝ T^0.0

Емпіричні дані BTC

Power-law skew: |skew| ∝ T^H−0.5. At H=0.1, the exponent is −0.4, so short-dated skew blows up.

Графік вище показує три режими в логарифмічному масштабі. При H = 0.1 (зелений) крива скью крута -- короткостроковий скью набагато більший за довгостроковий. При H = 0.5 (червоний, Heston-подібний) крива майже пласка. Жовті точки — це емпіричні дані BTC, і вони точно відстежують криву H = 0.1.

Це не збіг. Коли ви вимірюєте H за даними реалізованої волатильності BTC, ви отримуєте H ≈ 0.1. Коли ви дивитеся на часову структуру скью, імпліковану опціонами BTC, вона масштабується як T^−0.4. Теорія і дані узгоджуються.

Чому Heston помиляється в цьому: Варіансний процес CIR у Heston керується стандартним BM (H = 0.5). Він не може створити степеневий спад скью з експонентою нижче нуля. Ви можете зробити скью Heston крутим, збільшуючи σ (vol-of-vol), але це порушує умову Феллера і створює числові проблеми. Rough Bergomi природно досягає крутого скью для короткострокових опціонів, без жодних параметричних викрутасів.

Розділ 5

Проблеми ціноутворення

Rough Bergomi теоретично прекрасний і емпірично обґрунтований. Але його дорого використовувати. Немає замкнених формул для цін, немає PDE, немає швидкого трюку з перетворенням Фур'є. Лише Монте-Карло, і навіть це повільно через немарковську структуру.

Немає характеристичної функції у замкненій формі. Убивча особливість Heston — це його напіваналітичне ціноутворення через інверсію Фур'є. Rough Bergomi цього не має. Драйвер fBM руйнує афінну структуру, яка робить характеристичну функцію Heston розв'язною.

Лише Monte Carlo. Щоб оцінити ванільний опціон за rough Bergomi, ви симулюєте шляхи процесу дисперсії, обчислюєте кінцеві спотові ціни та усереднюєте виплати. Стандартна збіжність Monte Carlo: 1/√N. Щоб отримати ціну з точністю до 1 базисного пункту, вам потрібно багато шляхів.

Симуляція fBM є витратною. Стандартний BM є марковським: щоб симулювати наступний крок, вам потрібне лише поточне значення. fBM є немарковським: щоб коректно симулювати наступний крок, вам потрібна вся історія шляху. Наївне розкладання Холецького коштує O(N²) на шлях у пам'яті та O(N³) у часі, де N — це кількість часових кроків. Це нищівно для довгих шляхів.

Гібридні схеми. Bayer, Friz і Gatheral запропонували гібридну схему, яка розбиває ядро fBM на "ближню" частину (обчислювану точно) та "далеку" частину (апроксимовану кількома базисними функціями). Це знижує вартість приблизно до O(N · log N) на шлях, що робить калібрування здійсненним, але все ще недостатньо швидким для ціноутворення в реальному часі на торговому деску.

Немає PDE. Марковські моделі, як-от Heston, можна оцінювати через PDE (скінченні різниці). Це дає швидке ціноутворення на основі сітки. Немарковські моделі не мають скінченновимірного простору станів, тому ви не можете записати PDE. "Прокляття немарковськості" полягає в тому, що стан є нескінченновимірним (уся історія шляху).

Порівняння обчислювальної вартості

Heston: інверсія Фур'є — O(1) на опціон (мікросекунди)

Rough Bergomi: Monte Carlo — O(N·M) на опціон (секунди)

N = часові кроки на шлях, M = кількість шляхів. Типове калібрування вимагає оцінки сотень цін опціонів на кожен крок оптимізатора. Це робить rough Bergomi у 10 000 разів повільнішим за Heston для того самого завдання.

Де rough Bergomi знаходить застосування на практиці:

1. Дослідження та калібрувальні студії. Академіки та квант-дослідники використовують це для перевірки гіпотези rough vol та для бенчмаркінгу інших моделей. Якщо ваша швидка модель (SVI, SABR) дає інший скью, ніж прогнозує rough Bergomi, ви знаєте, що щось не так.

2. Нічне калібрування. Деякі дески запускають калібрування rough Bergomi вночі як діагностику. Воно каже їм, чи пропускає їхня швидка денна модель динаміку скью.

3. Формування інтуїції. Навіть якщо ви ніколи не запускаєте модель наживо, розуміння rough vol змінює те, як ви думаєте про короткострокові опціони. Коли одноденний скью виглядає крутішим, ніж прогнозує ваша модель, rough vol каже вам, що це нормально — це проявляються rough-шляхи дисперсії ринку.

4. Проксі на нейронних мережах. Нещодавні роботи тренують нейронні мережі для апроксимації цін rough Bergomi. Мережа навчається відображенню від параметрів до цін офлайн (використовуючи повільний Monte Carlo), а потім оцінює за мілісекунди під час виконання. Це може врешті зробити rough vol придатним для використання у продакшені.

Ширша картина

Rough Bergomi знаходиться на перетині математичних фінансів та економетрики. Це один із рідкісних випадків, коли вимірювання (H ≈ 0.1) безпосередньо продиктувало модель. Більшість моделей спочатку винаходять, а потім підганяють. Rough vol спочатку виявили в даних, а формалізували вже потім. Ця емпірична обґрунтованість є причиною, чому спільнота ставиться до цього серйозно, попри обчислювальну вартість.

Куди рухатися далі:

Модель Heston — марковська робоча конячка стохастичної волатильності з ціноутворенням через Фур'є

Параметризація SVI — швидкий стандарт підгонки усмішки для крипто поверхонь волатильності

Модель SABR — стохастична волатильність без повернення до середнього

Методи інтерполяції — усі методи побудови поверхні у порівнянні