Path-Dependent Volatility (PDV)

Кожна модель на цьому сайті припускає, що волатильність залежить від того, де ціна перебуває зараз -- поточний рівень, можливо, поточний стан волатильності. Path-Dependent Volatility (Guyon & Lekeufack, 2023) стверджує, що цього недостатньо. Волатильність також залежить від того, де ціна була. Монета, яка обвалилася на 10% і відновилася до $100, торгується не так, як та, що весь час трималася на рівні$100. Монета з обвалом-і-відновленням має підвищену імпліцитну волатильність, крутіший скью та ширші крила -- бо ринок пам'ятає обвал.

💡

Ринки мають пам'ять

Якщо BTC щойно пережив просадку на 15%, волатильність залишається підвищеною навіть після відновлення ціни. PDV робить волатильність функцією двох речей: нещодавньої реалізованої волатильності та нещодавнього цінового тренду. Це вся модель. Поверхня волатильності зсувається у відповідь на шлях, а не лише на поточну ціну.

Подивіться в дії

Перемикайтеся між шляхом обвалу-відновлення та рівним шляхом. Обидва закінчуються на одній ціні, але дають різні усмішки волатильності. Перетягніть повзунок пам'яті, щоб побачити, як вікно ретроспективи змінює ефект.

Волатильність, залежна від траєкторії

Ціна впала на 10% і відскочила. Пам'ять траєкторії утримує волатильність підвищеною навіть після відновлення ціни.

Нещодавня траєкторія ціни

Результуюча усмішка волатильності

Пам'ять траєкторії (ретроспективне вікно)30 днів

1 день (коротка пам'ять)90 днів (довга пам'ять)

Перемикайтеся між сценаріями, щоб побачити, як однакова поточна ціна дає різні усмішки залежно від нещодавньої траєкторії. Пересуньте повзунок пам'яті, щоб побачити, як ретроспективне вікно змінює ефект.

Як це працює

1. Два вхідні параметри з цінового шляху

PDV зводить нещодавню історію цін до двох чисел:

Вхідний параметр

Що він фіксує

Інтуїція трейдера

Нещодавня реалізована волатильність

Наскільки сильно рухалася ціна протягом вікна ретроспективи.

Ви вже перевіряєте це на будь-якій панелі волатильності. Висока нещодавня RV = підвищена IV.

Нещодавній тренд

Чиста зміна ціни протягом вікна ретроспективи (вгору або вниз).

Великий рух вниз робить скью крутішим. Ралі його вирівнює. Ви бачите це щодня.

2. Волатильність є функцією цих двох вхідних параметрів

Модель каже: імпліцитна волатильність на будь-якому страйку є функцією поточного спота плюс цих двох підсумків шляху. Жодної стохастичної змінної стану волатильності, жодного дробового числення, жодного прихованого ланцюга Маркова. Просто: "де ціна, наскільки сильно вона рухалася, і в якому напрямку?"

3. Поведінка rough vol без rough-моделей

Ця конструкція відтворює кілька "важких" явищ:

• Кластеризація волатильності -- висока волатильність породжує високу волатильність, бо нещодавня реалізована волатильність залишається підвищеною
• Ефект левериджу -- рухи вниз збільшують волатильність сильніше, ніж рухи вгору, бо вхідний тренд перекошує функцію. Дає скью, який змінюється залежно від нещодавніх доходностей.
• Масштабування, схоже на rough vol -- видима шорсткість шляхів волатильності виникає природно з залежності від шляху, без потреби у дробовому броунівському русі
• Спільна калібрація SPX/VIX -- модель калібрується одночасно до опціонів на індекс та опціонів VIX, чого більшість моделей не може

ℹ️

Чому це важливо для крипто

Крипторинки мають екстремальну залежність від шляху. Після каскаду ліквідацій волатильність залишається підвищеною днями, навіть якщо ціна відновлюється. Після тривалого повільного зростання волатильність стискається. PDV фіксує це безпосередньо. Традиційні моделі трактують кожен BTC на рівні 60k однаково -- PDV трактує "60k після обвалу з 70k" інакше, ніж "60k після ралі з 50k". Ця різниця має значення для ціноутворення та дельта-хеджування.

PDV проти інших моделей

Характеристика

Heston / SABR

Rough Bergomi

PDV

Волатильність залежить від

Лише поточного стану

Повної історії волатильності (дробової)

Нещодавньої RV + тренду

Пам'ять про шлях

Немає (Марков)

Нескінченна (степеневий закон)

Скінченна (вікно ретроспективи)

Складність

Низька

Висока (не-Марков)

Низька

Спільна підгонка SPX/VIX

Погана

Помірна

Добра

Кластеризація волатильності

Часткова

Так

Так

Швидкість симуляції

Швидка

Повільна

Швидка (Марков)

Зрілість

Десятиліття

~10 років

Нова (2023)

Сильні сторони та обмеження

Сильна сторона

Що це означає для вас

Інтуїтивні вхідні параметри

Нещодавня реалізована волатильність і тренд -- це те, за чим стежить кожен трейдер. Жодних абстрактних змінних стану.

Марковська (швидка для симуляції)

Попри фіксацію ефектів шляху, модель є марковською за (S, реалізована волатильність, тренд). Монте-Карло стандартної швидкості.

Rough vol без rough-математики

Відтворює властивості масштабування rough-моделей волатильності без дробового числення чи не-марковської симуляції.

Спільна калібрація

Калібрується одночасно до ванільних опціонів та продуктів на волатильність волатильності (опціони VIX, волатильнісні свопи).

Обмеження

Що це означає для вас

Вибір вікна ретроспективи

Параметр пам'яті має значення і повинен бути обраний чи підігнаний. Різні вікна дають різні поверхні.

Немає закритої форми для ціноутворення

Ціни опціонів вимагають симуляції Монте-Карло. Повільніше, ніж наближення закритої форми Heston чи SABR.

Нова (2023)

Обмежений виробничий досвід. Граничні випадки та режими відмов не повністю задокументовані.

Потребує історії цін

Не може оцінити опціони на абсолютно новий токен без історії торгів. Потребує достатньо даних для обчислення реалізованої волатильності та тренду.

💡

Найпростіша модель волатильності, залежної від шляху

PDV використовує нещодавню реалізовану волатильність і нещодавній тренд, щоб пояснити динаміку усмішки, яку пропускають стохастичні моделі волатильності. Відтворює rough vol, кластеризацію волатильності та ефекти левериджу без екзотичної математики. Вега за PDV відрізняється від Black-Scholes, бо стан шляху змінює форму усмішки. Компроміс: нова, потребує Монте-Карло і залежить від вибору вікна ретроспективи.

Дослідник рівнянь

Конвертуйте між імпліцитною волатильністю, повною дисперсією, логарифмічною монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: BTC на рівні $65k. Він потрапив сюди, обвалившись з $72k і відновившись. За PDV, як поверхня волатильності відрізняється від сценарію, де BTC повільно дрейфував угору з $60k?

Q: Чому PDV відтворює поведінку, схожу на rough vol, без використання дробового броунівського руху?

Q: Ви обираєте вікно ретроспективи для PDV на опціонах ETH. Які компроміси між 7 днями та 60 днями?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

---

Дивіться також:

• SABR Model -- Класична стохастична волатильність без залежності від шляху
• Rough Bergomi -- Дробова модель волатильності, яку PDV може наблизити
• Heston Model -- Стохастична волатильність з поверненням до середнього (Марков, без пам'яті про шлях)
• Neural SDE / Deep Hedging -- Ще один підхід до моделювання волатильності на основі даних
• Vol Regimes -- Розуміння режимів, які PDV природно фіксує