Merton Jump-Diffusion з нуля
1/5Black-Scholes не може впоратися з обвалами
Black-Scholes припускає, що ціна рухається неперервно — маленький тік за тіком, жодної телепортації. Це працює у 99% випадків. Решта 1% — це те, що вас знищує.
Ринки роблять гепи. Публікації звітності, геополітичні шоки, експлойти протоколів — ціна миттєво стрибає з одного рівня на інший без нічого посередині. Модель, яка знає лише дифузію, буквально не може призначити ймовірність таким подіям.
Виправлення Роберта Merton (1976): зберегти дифузію, але додати друге джерело випадковості — процес Пуассона який спрацьовує у випадкові моменти часу. Коли він спрацьовує, ціна стрибає на випадкову величину з логнормального розподілу.
dN — лічильник Пуассона. Зазвичай 0. Зрідка 1 (відбувається стрибок).
J — множник стрибка. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). Якщо J = 0.9, ціна миттєво падає на 10%.
λ — середня кількість стрибків на рік. k = E[J − 1] — компенсатор, щоб дрейф залишався чистим.
Нижче — три змодельовані цінові траєкторії за моделлю Мертона. Здебільшого траєкторія — це гладка дифузія. Потім з'являється вертикальна лінія — це стрибок. Збільшіть λ, щоб побачити частіші стрибки, або зробіть μJ більш від'ємним, щоб побачити поведінку, схожу на крах.
Уявіть дифузію як ходьбу кімнатою. Ви робите маленькі, неперервні кроки. Тепер додайте люки в підлозі. Більшість кроків звичайні. Але іноді ви провалюєтеся крізь люк і опиняєтеся в несподіваному місці. Це і є стрибкова компонента.
Три нові параметри
На додаток до звичайної σ (дифузійна волатильність) Мертон додає три параметри, які разом визначають форму усмішки імпліцитної волатильності. Кожен виконує свою конкретну роль.
λ (лямбда) — частота стрибків. Скільки стрибків на рік у середньому. Вища λ означає частіші стрибки, що піднімає обидва крила усмішки. Якщо λ = 0, ви знову у світі Black-Scholes.
μJ (мю-J) — середній розмір стрибка. Якщо від'ємний, стрибки переважно спрямовані вниз (крахи). Це нахиляє усмішку — ліве крило (пути) стає дорожчим за праве (колли). Якщо нуль, стрибки симетричні, і усмішка приблизно симетрична.
σJ (сигма-J) — волатильність розміру стрибка. Наскільки мінливий розмір стрибка. Навіть якщо μJ = 0, висока σJ означає, що деякі стрибки величезні, а деякі крихітні. Це додає надлишковий ексцес — товщі хвости, ніж у нормального розподілу, — що збільшує кривизну крил.
Пограйтеся з повзунками вище. Три експерименти, які варто спробувати:
1. Встановіть λ = 0. Усмішка стає плоскою — чистий BS.
2. Встановіть λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Отримаєте крутий скью вниз — ринок очікує крахів більше, ніж ралі.
3. Встановіть μJ = 0, σJ = 0.30. Обидва крила піднімаються симетрично — чисті товсті хвости без напрямного зсуву.
Формула ціноутворення
Формула ціноутворення Merton елегантна: ціна опціону — це зважена сума цін Black-Scholes, по одній для кожної можливої кількості стрибків. Якщо ви можете оцінити ванільні BS колл-опціони, ви можете оцінити Merton.
σn² = σ² + nσJ²/τ — кожен додатковий стрибок додає більше ефективної дисперсії.
Вага — це ймовірність Пуассона — шанс рівно n подій за час τ.
На практиці достатньо 10–15 доданків, бо ваги Пуассона швидко спадають.
Візуалізація нижче розкладає ціну Мертона на перші шість доданків. Ліва панель показує стовпчики для кожного доданка за обраним страйком. Права панель показує, як доданки складаються за всіма страйками — можна побачити, які доданки домінують на грошах (ATM) порівняно з крилами.
Ключове спостереження: доданок n=0 (нуль стрибків) — це просто звичайна ціна Black-Scholes. Вищі доданки поступово додають більше вартості крилам, бо стрибки підвищують ефективну волатильність і роблять далекі страйки досяжними.
Пересуньте повзунок страйку до крил (K=80 або K=120). Спостерігайте, як доданки з вищими n стають пропорційно важливішими. На грошах (ATM) домінує n=0. У крилах n=1 і n=2 починають серйозно працювати — саме там живе премія за стрибок.
Ризик стрибків не хеджується
У Black-Scholes дельта-хеджування усуває весь ризик — ви безперервно ребалансуєте, і дифузійний ризик взаємно скорочується. Зі стрибками це ламається. Стрибок відбувається миттєво; ви не встигаєте ребалансувати.
Подумайте: дельта-хеджування працює через коригування позиції в базовому активі у відповідь на малі зміни ціни. Але стрибок не малий — ціна телепортується. Поки ви встигнете відреагувати, збиток (або несподіваний прибуток) уже стався. Ваш хедж був розрахований на ціну до стрибка, а не після.
Це означає, що ринок Мертона неповний. Ви не можете реплікувати будь-яку виплату лише базовим активом і облігацією. Ризик стрибків — окремий фактор ризику, який ринок мусить оцінювати. Ось чому опціони в реальному світі несуть премію понад те, що передбачає логіка дельта-хеджування BS.
Натисніть «Перегенерувати» кілька разів і спостерігайте за патерном. На панелі BS (ліворуч) накопичений PnL блукає, але залишається відносно стриманим — хедж робить свою справу. На панелі Мертона (праворуч) PnL здебільшого виглядає схоже, але потім з'являється червона вертикальна смуга (стрибок) — і PnL різко зміщується.
Викликані стрибками шоки PnL асиметричні, коли μJ < 0: стрибки вниз шкодять хеджеру (який у короткій позиції по гаммі) більше, ніж стрибки вгору допомагають. Це фундаментальна причина, чому пути на випадок краху несуть премію — хтось має отримувати компенсацію за прийняття цього нехеджованого ризику стрибків.
Merton проти Heston проти реальності
Мертон блискуче описує короткострокові усмішки. Гестон — довгострокові. Реальність потребує обох — саме тому модель Bates (Heston + стрибки) стала робочим інструментом індустрії.
Ось ключова відмінність:
Стрибки домінують на коротких строках. 1-тижневий опціон надто короткий, щоб стохастична волатильність могла значуще «дифузувати». Але один стрибок все одно може досягти віддаленого страйка. Компонент стрибка Merton є основним драйвером цін крил короткострокових опціонів.
Стохастична волатильність домінує на довгих строках. За 6 місяців сама волатильність достатньо блукає вгору-вниз, щоб самостійно генерувати товсті хвости. Стрибкові події «розчиняються» в усередненні — один стрибок за 252 торгові дні важить менше, ніж один стрибок за 5 торгових днів.
Довгострокові крила → волатильність волатильності → Heston
Обидва → Bates = Heston + стрибки Мертона
Практичний наслідок: якщо ви калібруєте Мертона за 1-місячними опціонами, а потім оцінюєте ним 1-річні опціони, довгострокова усмішка буде занадто плоскою. Стрибкова компонента спадає як √τ, але ринкова усмішка залишається піднятою на довгих строках, бо сама волатильність невизначена.
І навпаки, сам лише Heston недооцінює короткострокові крила. Процес волатильності занадто повільний, щоб створити екстремальний короткостроковий ексцес, якого вимагає ринок. Для цього потрібні стрибки.
Black-Scholes: плоска усмішка. Ні скью, ні крил. Найпростіший еталон.
Merton: усмішка з піднятими крилами, особливо на коротких строках. Скью, якщо μJ < 0. Усмішка вирівнюється зі строком, оскільки стрибки розчиняються.
Heston: усмішка від волатильності волатильності. Усмішка зберігається на довгих строках. Генерує скью через кореляцію волатильності зі спотом (ρ).
Bates: Heston + стрибки Мертона. Відтворює часову структуру усмішки від коротких до довгих строків. Стандартний вибір індустрії для акцій і крипто.
Куди рухатися далі:
Модель Heston — стохастична волатильність, друга половина картини
Модель Bates — Heston + стрибки: робочий інструмент індустрії
Стрибкова дифузія Kou — асиметричні стрибки з подвійно-експоненційними хвостами