Стрибково-дифузійна модель Мертона

Блек-Шоулз припускає, що ціни рухаються плавно -- без розривів, без раптових обвалів. Мертон (1976) додає стрибки. Ціна може раптово телепортуватися вгору чи вниз, а не лише дифундувати. Ринок відкривається з розривом. Стейблкоїн втрачає прив'язку за один блок.

Товсті хвости та круті короткострокові усмішки випливають безпосередньо. Більше стрибкового ризику = крутіші крила на поверхні волатильності.

💡

Чому стрибки важливі для опціонів

OTM пут, який експірується через 2 дні, майже нічого не вартий за Блеком-Шоулзом -- дифузії не вистачить часу, щоб дістатися до страйку. Але якщо ринок може стрибнути на 15% за ніч, цей пут має реальну вартість. Стрибкові моделі це враховують. Саме тому короткострокові усмішки такі круті.

Дослідіть параметри

Почніть з «Без стрибків», щоб побачити плоский Блек-Шоулз. Потім перейдіть до «Ризик обвалу» та спостерігайте, як крутішає крило путів.

Дослідник усмішки моделі Merton (стрибкова дифузія)

Один очікуваний обвал на рік, у середньому -15%. Крутий пут-скью через ризик стрибків униз.

Інтенсивність стрибків1.00

Очікувана кількість стрибків на рік. 0 = Black-Scholes.

Середній розмір стрибка-0.15

Від'ємне = ухил до обвалу. -0.10 означає стрибок у середньому на -10%.

Волатильність стрибків0.20

Наскільки мінливий кожен стрибок. Вище = крутіші крила.

Базова волатильність0.20

Дифузійна волатильність (між стрибками).

Почніть із «Без стрибків», щоб побачити плоский Black-Scholes, а потім перейдіть до «Ризик обвалу», щоб побачити, як стрибки створюють скью.

Що робить кожен параметр

• Лямбда (інтенсивність стрибків): Скільки стрибків на рік ви очікуєте. Нуль = Блек-Шоулз. Один = приблизно одна подія масштабу обвалу на рік. У крипто це може бути 2-3.
• Середній розмір стрибка: Середній напрямок стрибка. Від'ємний = обвали трапляються частіше за сплески. Саме це створює пут-скью.
• Волатильність стрибків: Наскільки мінливим є кожен стрибок. Навіть якщо середній стрибок дорівнює нулю, висока волатильність стрибків створює товсті хвости (обидва крила піднімаються).
• Базова волатильність (сигма): Звичайна дифузійна волатильність між стрибками. Вона задає загальний рівень.

Як стрибки формують усмішку

Зміна параметра

Вплив на усмішку

Інтуїція

Збільшення лямбди

Обидва крила піднімаються

Більше стрибків = більше хвостового ризику = OTM опціони коштують більше

Більш від’ємний середній стрибок

Крило путів крутішає

Обвали ймовірніші за сплески, тому пути дорожчають

Збільшення волатильності стрибків

Крила стають крутішими

Кожен стрибок менш передбачуваний, тому екстремальні рухи стають імовірнішими

Збільшення базової волатильності

Уся усмішка зміщується вгору

Більша дифузійна волатильність підвищує всі ціни опціонів

Стрибкова усмішка проти усмішки стохастичної волатильності

Мертон і Хестон (стохастична волатильність) обидва створюють усмішки, але роблять це по-різному. Ця різниця має значення для торгівлі.

Мертон (стрибки)

Хестон (стохастична вол.)

Що створює усмішку?

Раптові цінові розриви

Випадкова волатильність

Короткострокова поведінка

Крута усмішка (домінує стрибковий ризик)

Помірна усмішка (волатильності бракує часу, щоб змінитися)

Довгострокова поведінка

Усмішка вирівнюється (стрибки усереднюються)

Усмішка зберігається (випадковість волатильності накопичується)

Форма хвостів

Товсті хвости від дискретних стрибків

Товсті хвости від кластеризації волатильності

Найкраще для

Короткострокові опціони, ризик подій

Довгострокові опціони, торгівля волатильністю

ℹ️

Короткострокові проти довгострокових

Модель Мертона найкорисніша для короткострокових опціонів, де домінує стрибковий ризик. Для довших термінів вступає в дію центральна гранична теорема -- багато малих стрибків виглядають як дифузія, і усмішка лише від стрибків згасає. Стохастична волатильність бере верх на довгому кінці часової структури.

Мертон у крипто

Крипто -- це, мабуть, саме та сфера, де модель Мертона найважливіша. Ринки торгуються 24/7, але розриви ліквідності трапляються часто -- збої бірж, відмови оракулів, раптові каскади ліквідацій. Це стрибки. Рівень ATM може змінитися незначно, але крила крутішають драматично.

Криптоподія

Характер стрибка

Вплив на усмішку

Флеш-креш / каскад ліквідацій

Великий від’ємний стрибок

Крутий пут-скью, особливо короткостроковий

Втрата прив’язки стейблкоїна

Від’ємний стрибок з високою волатильністю

Екстремальне крило путів, підвищене крило коллів

Позитивний каталізатор (схвалення ETF тощо)

Додатний стрибок

Крило коллів піднімається, тимчасовий розворот скью

Збій біржі під час волатильності

Розрив у будь-якому напрямку

Обидва крила підвищені (чистий ексцес)

💡

Найпростіша модель, що оцінює ризик розривів

Мертон пояснює, чому короткострокові OTM опціони дорожчі, ніж передбачає Блек-Шоулз. Якщо ви торгуєте тижневими або короткостроковими криптоопціонами, стрибковий ризик -- це те, що ви насправді оцінюєте. Дельта-хеджування за Мертоном відрізняється від Блека-Шоулза, оскільки стрибковий компонент неможливо захеджувати -- реплікувати можна лише дифузійну частину. Експозиція за вегою структурно вища.

Оглядач рівнянь

Конвертуйте між імпліцитною волатильністю, повною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Чому Блек-Шоулз недооцінює короткострокові OTM опціони?

Q: Що відбувається з усмішкою Мертона зі збільшенням строку до експірації?

Q: Якщо середній розмір стрибка дорівнює нулю, але волатильність стрибків висока, як виглядає усмішка?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Розвиток математичної інтуїції

Вивчіть стрибки Мертона з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок починається з простого питання «а що, якщо ціна може телепортуватися?» і потім вибудовує повну інтуїцію щодо інтенсивності стрибків, розміру стрибків і того, чому короткострокові крила стають дорогими.

---

Дивіться також:

• Блек-Шоулз -- Базова модель без стрибків
• Модель Хестона -- Стохастична волатильність (інший спосіб отримати усмішку)
• Variance Gamma -- Чисто стрибкова модель узагалі без дифузії
• Скью -- Чому усмішка нахилена