Локальна волатильність з нуля
1/5Імпліцитна волатильність — це усереднене значення
Найважливіша ідея локальної волатильності: імпліцитна волатильність, яку ви спостерігаєте для заданого страйку та експірації, — це не волатильність у цій точці. Це середньозважене за траєкторією значення всіх локальних волатильностей на шляху.
Уявіть це як подорож на авто. Обмеження швидкості змінюється від міста до міста (це локальні волатильності). Ваша середня швидкість за всю подорож — це ваша імпліцитна волатильність. Дві подорожі, що закінчуються в одному пункті призначення, можуть мати різну середню швидкість, бо проходили через різні міста.
Нижче кожна траєкторія починається з S=100 і закінчується однаковою кінцевою ціною. Але кожна траєкторія блукає через різні цінові зони, кожна зі своєю локальною волатильністю. Імпліцитна волатильність — це середнє за всіма цими траєкторіями.
Додайте більше траєкторій і спостерігайте, як середня волатильність стабілізується. Кожна траєкторія зазнає різних локальних волатильностей залежно від того, які цінові рівні вона відвідує. Фонове затінення показує ландшафт локальної волатильності — яскравіше означає вищу волатильність.
Що таке локальна волатильність?
Локальна волатильність — це миттєва волатильність у конкретній точці (ціна, час). Це ландшафт: у кожній ціні споту та в кожен момент часу є конкретне значення волатильності.
Модель каже: якщо базовий актив перебуває за ціною S у момент t, миттєва волатильність дорівнює точно σ(S, t). Жодної випадковості в самій волатильності — це детермінована функція від того, де перебуває ціна і коли.
Наведіть курсор на теплову карту нижче, щоб побачити значення локальної волатильності в кожній точці. Зверніть увагу на закономірність: вища волатильність при низьких цінах споту (ліворуч), нижча волатильність при високих цінах споту (праворуч). Ця асиметрія породжує скью імпліцитної волатильності.
Локальна волатильність — це як топографічна карта швидкості вітру. У кожній точці (широта, довгота) є конкретна швидкість вітру. Корабель, що пливе з A до B, зазнає різних вітрів залежно від свого маршруту. Середня швидкість вітру за подорож — це як імпліцитна волатильність. Швидкість вітру в кожній окремій точці — це локальна волатильність.
Формула Dupire
Dupire показав, що можна витягти поверхню локальної волатильності безпосередньо зі спостережуваних цін опціонів. Формула використовує дві часткові похідні функції ціни колл-опціону.
∂²C/∂K² — кривина цін колл-опціонів за страйками. Це щільність імовірності кінцевої ціни (спред метелика). Коли цей член дорівнює нулю, є арбітраж метелика і локальна волатильність невизначена.
Сітка нижче показує ціни колл-опціонів за Black-Scholes, обчислені зі скошеною поверхнею імпліцитної волатильності. Клацніть будь-яку внутрішню клітинку, щоб її вибрати. Перемикайтеся між двома видами похідних, щоб побачити, які сусідні клітинки роблять внесок у чисельник і знаменник.
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
Чисельник (∂C/∂T) вимірює, скільки додаткової часової вартості ринок призначає за довший строк — це інформація про форвардну волатильність. Знаменник (∂²C/∂K²) — це ризик-нейтральна щільність імовірності. Їхнє відношення виокремлює миттєву дисперсію в цій точці (K, T).
Від усмішки до поверхні
Усмішка імпліцитної волатильності — крива IV за страйками — відображається на цілу поверхню локальної волатильності. Зміна форми усмішки змінює ландшафт локальної волатильності.
Використовуйте повзунки нижче, щоб змінити усмішку імпліцитної волатильності: її базовий рівень, скью (нахил) та кривину (опуклість). Ліва панель показує усмішку IV. Права панель показує отриману теплову карту локальної волатильності, обчислену за Dupire.
Ключові речі, на які варто звернути увагу:
Локальна волатильність завжди екстремальніша, ніж імпліцитна. Оскільки імпліцитна волатильність усереднює за траєкторіями, вона згладжує піки та западини локальної волатильності. Збільшіть кривину і спостерігайте, як крила локальної волатильності стають набагато виразнішими.
Додавання скью зсуває локальну волатильність асиметрично. Негативний скью (типовий для ринків акцій/крипто) дає вищу локальну волатильність ліворуч (низький спот) і нижчу праворуч.
Чому це важливо для екзотики
Для ванільних опціонів імпліцитної волатильності достатньо. Для будь-чого шляхозалежного — бар'єрів, азійських, лукбеків — вам потрібно знати, де перебуває волатильність уздовж траєкторії, а не лише кінцеве середнє.
Down-and-out колл виплачує як звичайний колл, якщо ціна дорогою не торкнеться бар'єра. Імовірність досягнення бар'єра залежить від волатильності, яку зазнає ціна поблизу рівня бар'єра. Дві різні поверхні локальної волатильності можуть давати однакову ціну ванільного колла, але дико різні ціни бар'єрних опціонів.
Це основний аргумент на користь локальної волатильності: вона робить ваші ціни екзотики узгодженими з ванільними. Будь-який бар'єрний або шляхозалежний опціон, оцінений за локальною волатильністю, гарантовано не суперечитиме спостережуваним цінам ванільних опціонів. Ви отримуєте одну уніфіковану модель замість спеціальних коригувань.
Застереження: локальна волатильність передбачає неправильну динаміку усмішки (волатильність детермінована, тож вона не може здивувати). На практиці дески використовують стохастичну локальну волатильність (SLV) — локальну волатильність для точності калібрування плюс стохастичний компонент для реалістичної динаміки.
Куди рухатися далі:
Параметризація SVI — модель, що використовується для побудови імпліцитної поверхні, яка живить Dupire
Модель SABR — альтернатива зі стохастичною волатильністю з кращою динамікою
Методи інтерполяції — усі методи в порівнянні