Локальна волатильність

інфо

Ця сторінка охоплює модель локальної волатильності Дюпіра. Для контексту про те, як вона вписується в конвеєр поверхні волатильності, див. Як будуються поверхні. Для порівняння з іншими методами див. Методи інтерполяції.

Локальна волатильність — це миттєва волатильність базового активу на певному ціновому рівні та в певний момент часу. Це функція $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$, яка при підстановці в дифузійну модель точно відтворює всі спостережувані ціни європейських опціонів.

Ідея була розроблена незалежно Бруно Дюпіром (1994) та Дерманом і Кані (1994). Це унікальна модель, яка відповідає повній поверхні імпліцитної волатильності без будь-яких додаткових припущень.

Імпліцитна волатильність проти локальної волатильності

Ключове розуміння: імпліцитна волатильність — це усереднене змішування локальних волатильностей вздовж шляху до експірації. Локальна волатильність — це миттєва, «поточкова» волатильність.

Імпліцитна волатильність vs локальна волатильність

Типова усмішка для акцій/крипто. Локальна волатильність вища і гостріша за імпліцитну.

Локальна волатильність (суцільна лінія) завжди гостріша за імпліцитну (пунктирна). Імпліцитна волатильність — це зважене середнє локальних волатильностей уздовж траєкторії.

Перемикайтеся між формами усмішки і зверніть увагу:

• Локальна волатильність завжди більш пікова. Оскільки імпліцитна волатильність усереднюється по шляху, вона згладжує екстремуми. Локальна волатильність показує чисту, неусереднену картину.
• Крутіший імпліцитний скью = більш драматична локальна волатильність. У випадку крутого скью (криза) локальна волатильність розходиться в лівому крилі. Це модель каже: «Якщо спот впаде так далеко, миттєва волатильність повинна бути дуже високою, щоб відповідати спостережуваним цінам путів».
• Взаємозв'язок подібний до спотових ставок проти форвардних ставок. Імпліцитна волатильність — це спотова ставка (середнє від зараз до погашення). Локальна волатильність — це форвардна ставка (миттєва ставка в майбутній момент).

Що означає локальна волатильність

Уявіть ціну базового активу, що еволюціонує через ландшафт волатильностей. У кожній точці простору (ціна, час) існує певна волатильність. Коли базовий актив блукає, він відчуває різні миттєві волатильності.

30-денний ATM-опціон з 50% імпліцитною волатильністю може проходити через локальні волатильності в діапазоні від 40% до 65% вздовж свого шляху. 50% імпліцитна волатильність — це ризик-нейтральне середнє по всіх цих локальних волатильностях, зважене за часом, проведеним на кожному рівні.

Ось чому два опціони з різними страйками можуть мати різні імпліцитні волатильності, навіть якщо вони залежать від одного й того ж процесу базового активу: вони проходять через різні частини ландшафту локальної волатильності.

Коли використовувати локальну волатильність

Ціноутворення екзотичних опціонів

Основний випадок використання локальної волатильності. Робочий процес:

1. Спостерігайте ціни європейських опціонів (або імпліцитні волатильності) на ринку
2. Підганяйте безарбітражну поверхню імпліцитної волатильності (використовуючи SVI, SSVI або подібне)
3. Виведіть поверхню локальної волатильності через формулу Дюпіра
4. Побудуйте числовий рушій ціноутворення (кінцево-різницеве PDE або Монте-Карло), використовуючи поверхню локальної волатильності
5. Оцініть екзотику, еволюціонуючи базовий актив через ландшафт локальної волатильності

Гарантія: будь-яка екзотика, оцінена за локальною волатильністю, узгоджується з усіма спостережуваними цінами європейських опціонів. Ваша ціна бар'єрного опціону не суперечить ванілам, що має значення для хеджування.

Греки, узгоджені з поверхнею

Греки, обчислені за локальною волатильністю, враховують той факт, що волатильність змінюється, коли рухається спот. Дельта за локальною волатильністю відрізняється від дельти Блека-Шоулза, тому що модель «знає», що перехід до іншого рівня споту означає відчуття іншої локальної волатильності. Це концептуально подібно до того, що Талеб називає «тіньовою гаммою»: додаткова зміна дельти, яка виникає через зміну волатильності через рух споту.

Проблема динаміки

Локальна волатильність має одну добре відому слабкість: вона передбачає неправильну динаміку усмішки.

За локальною волатильністю волатильність є детермінованою функцією споту. Як тільки ви знаєте, де знаходиться спот, ви точно знаєте, якою є волатильність. Немає «сюрпризу» у волатильності. Це означає:

• Коли спот падає, локальна волатильність каже, що волатильність завжди мала бути такою високою за цією ціною. Усмішка сплощується.
• На практиці, коли спот падає, волатильність часто зростає більше, ніж передбачає локальна волатильність, і усмішка стає крутішою.

Результат: локальна волатильність систематично недооцінює опціони, які залежать від майбутньої форми усмішки (бар'єрні опціони, опціони з форвардним стартом, кліке).

Локальна волатильність проти інших моделей

	Локальна волатильність	SVI	SABR
Що це	Миттєва волатильність у кожній (S, t)	Параметрична форма усмішки	Модель стохастичної волатильності
Спостережувана?	Ні (виведена)	Ні (підігнана)	Ні (підігнана)
Точна калібрація	Так (за побудовою)	Приблизна	Приблизна
Динаміка усмішки	Неправильна (детермінована)	Не визначена	Краща (стохастична)
Ціноутворення екзотики	Так (основне використання)	Ні	Обмежена
Швидкість	Повільна (PDE/MC)	Швидка	Швидка (формула)
Найкраще для	Бар'єрні, азійські, екзотика	Ціноутворення ваніл, ризик	Свопціони, FX ваніли

Зв'язок з іншими моделями

Імпліцитна волатильність до локальної волатильності: Формула Дюпіра. Вимагає безарбітражну імпліцитну поверхню як вхідні дані.

Локальна волатильність до імпліцитної волатильності: Запустіть прямий PDE за поверхнею локальної волатильності, оцініть європейські опціони, інвертуйте, щоб отримати імпліцитні волатильності. Це точно робить круговий обіг за побудовою.

SABR і локальна волатильність: Параметр $\beta$ SABR контролює хребет локальної волатильності ($\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$), тоді як $\nu$ додає стохастичний шар зверху. SABR можна розглядати як параметричне наближення до локальної волатильності з додатковою динамікою.

SVI і локальна волатильність: SVI дає вам імпліцитну поверхню. Дюпір потім дає вам локальну волатильність. Ланцюг: ринкові котирування -> підгонка SVI -> імпліцитна поверхня -> Дюпір -> локальна волатильність -> рушій ціноутворення екзотики.

Побудова математичної інтуїції

Вивчіть локальну волатильність з нуляІнтерактивний урок · охоплює формулу Dupire

Інтерактивний урок вище охоплює модель локальної волатильності Дюпіра з перших принципів: чому імпліцитна волатильність є середньозваженим по шляху значенням локальних волатильностей, як формула Дюпіра витягує локальну волатильність зі спостережуваних цін, взаємозв'язок між усмішкою імпліцитної волатильності та поверхнею локальної волатильності, і чому локальна волатильність важлива для ціноутворення шляхозалежної екзотики.

Реалізації з відкритим кодом

Репозиторій	Чому варто його оглянути
QuantLib	Локальна волатильність Дюпіра з FD-рушієм ціноутворення
OpenGamma Strata	Побудова поверхні локальної волатильності з ринкових даних
RustQuant	Ціноутворення локальної волатильності на Rust

---

Дивіться також:

• Параметризація SVI - Модель, яка використовується для побудови імпліцитної поверхні
• Модель SABR - Стохастична альтернатива волатильності
• Методи інтерполяції - Порівняння всіх методів
• Як будуються поверхні - Повний конвеєр