Стрибкова дифузія Kou з нуля
1/5Стрибки Merton надто симетричні
Merton використовує логнормальні стрибки. Розподіл розміру стрибків — це єдина дзвоноподібна крива, десь центрована. Стрибки вгору і вниз беруться з однієї родини. Це проблема.
Реальні обвали різкіші за ралі. Depeg стейблкоїна не виглядає як дзеркальне відображення short squeeze. Розрив -20% стається за один блок. Ралі +20% триває тиждень. Вам потрібна модель, де ліва і права хвости контролюються окремо.
Kou (2002) виправляє це, замінюючи логнормальний розподіл стрибків на подвійний експоненційний. Стрибки вгору спадають з однією швидкістю. Стрибки вниз спадають з іншою швидкістю. Дві окремі ручки для двох окремих хвостів.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
У Kou: розмір стрибка Y = ln(J) слідує подвійному експоненційному з окремими швидкостями спадання для додатних і від'ємних значень.
Практичний наслідок: у Merton, коли ви робите ліве крило усмішки крутішим (роблячи μJ більш від'ємним), ви також тягнете за собою праве крило. Нормальний розподіл симетричний відносно свого середнього. Kou повністю розділяє крила.
Подвійна експонента
Розмір стрибка Y має щільність, складену з двох експоненційних половин, з'єднаних у нулі. Кожна половина спадає зі своєю власною швидкістю. Це ключова інновація.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ контролює спадання стрибків вниз. Мале η₂ означає, що стрибки вниз можуть бути великими (товстий лівий хвіст). Середній стрибок вниз = 1/η₂.
p — це ймовірність того, що даний стрибок буде вгору.
Пересуньте параметри нижче та спостерігайте, як змінюється щільність. Ключовий експеримент: встановіть η₁ набагато більшим за η₂. Правий хвіст (стрибки вгору) стає тонким і сконцентрованим біля нуля, тоді як лівий хвіст (стрибки вниз) простягається далеко. Це і є форма ризику обвалу.
Три експерименти для спроби:
1. Встановіть η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. Щільність симетрична. Обидва хвости ідентичні. Це за духом еквівалентно Merton з нульовим середнім стрибком.
2. Встановіть η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Товстий лівий хвіст, тонкий правий хвіст, більшість стрибків спрямовані вниз. Класичний режим обвалу.
3. Підкрутіть p до 0.9. Більшість стрибків спрямовані вгору, але стрибки вниз, які все ж трапляються, все одно керуються η₂ незалежно.
Чому асиметричні стрибки мають значення
Відношення η₁ до η₂ та параметр p разом контролюють скью усмішки імпліцитної волатильності. Що особливо важливо, вони контролюють кожне крило незалежно.
Розгляньте криптотокен. Крах через депег різкий і глибокий — це означає малий η₂ (важкий лівий хвіст). Звичайний висхідний рух ціни поступовий — це означає великий η₁ (тонкий правий хвіст). Отримана усмішка має круте пут-крило і пологе колл-крило. Саме те, що ви бачите на ринку.
У досліднику нижче простежте, як зміна лише η₂ робить ліве крило крутішим, не рухаючи праве крило. Потім спробуйте змінити η₁ — це незалежно робить праве крило крутішим. У цьому практична перевага Kou: ви підганяєте кожне крило до ринку окремо.
Чому p важливий для скью: якщо p = 0.3 (більшість стрибків спрямовані вниз), ліве крило роздувається, бо OTM пути бачать постійний потік ризику стрибків униз. Праве крило спокійніше — туди потрапляє менше стрибків.
Чому відношення η важливе для скью: навіть за p = 0.5 (однакова ймовірність стрибка), якщо η₂ набагато менше за η₁, стрибки вниз у середньому набагато більші. Це піднімає пут-крило, бо та сама кількість стрибків униз покриває більше простору на кожен стрибок.
Перевага замкнутої форми
Експоненційний розподіл має особливу властивість: він є без пам'яті. Якщо ви знаєте, що стрибок перевищує певний бар'єр x, перевищення (стрибок − x) має точно такий самий розподіл, як і свіжий стрибок. Саме це дає Kou замкнуті формули для бар'єрних цін.
Подумайте, що потрібно бар'єрному опціону: вам потрібно знати розподіл того, де опиняється ціна після того, як вона перетинає бар'єр. Із гаусовими стрибками (Merton) розподіл перевищення заплутаний — він залежить від того, наскільки далеко за бар'єр ви зайшли. З експоненційними стрибками перевищення не має пам'яті: умовний розподіл за умови перетину бар'єра такий самий, як безумовний розподіл. Це робить математику придатною до розв'язання.
Результат: Kou (2004) вивів розв'язки в замкнутій формі для бар'єрів knock-in/knock-out, lookback-опціонів і безстрокових американських опціонів. У Merton таких формул немає. Якщо ви оцінюєте екзотику і потребуєте аналітичних греків, Kou перемагає.
Ліва панель показує повну експоненційну щільність з позначеним порогом x. Заштрихована область — це ймовірність перевищення x. Права панель показує умовну щільність надлишку (Y − x), given Y > x. Пересувайте поріг: умовна щільність завжди має ту саму форму, що й вихідна. Це і є властивість відсутності пам'яті.
Пересуньте η і зверніть увагу, як обидві панелі масштабуються однаково. Форма надлишку ніколи не залежить від того, де ви встановлюєте поріг. Для бар'єрного ціноутворення це означає, що розподіл перевищення на бар'єрі відомий аналітично — жодної симуляції не потрібно.
Kou проти Merton проти Heston
Кожна модель має свою роль. Розуміння того, де Kou вписується відносно Merton і Heston, — це остання деталь.
Kou: асиметричні стрибки, незалежний контроль крил, замкнуті формули для екзотики. Найкраще для ринків з вираженою асиметрією крахів (крипто, окремі акції) і коли вам потрібні аналітичні ціни бар'єрних або lookback-опціонів.
Merton: простіші, симетричні стрибки. Менше параметрів. Достатньо добре, коли усмішка приблизно симетрична або коли ви оцінюєте лише ванільні опціони. Галузева відправна точка для моделей зі стрибками.
Heston: стохастична волатильність, без стрибків. Генерує скью через кореляцію волатильності зі спотом (ρ). Домінує на довгих термінах, де vol-of-vol керує часовою структурою. Не може створити крутизну крил на коротких термінах, яку створюють стрибки.
Графік вище накладає усмішки Kou і Merton з однаковою загальною дисперсією стрибків. Обидві моделі додають однакову кількість ризику стрибків загалом, але Kou розподіляє більше його до лівого хвоста. Зверніть увагу, як ліве крило Kou важче (крутіше пут-крило), тоді як його праве крило тонше. Merton розподіляє ризик рівномірніше.
Black-Scholes: плоска усмішка. Ні скью, ні крил.
Merton: усмішка з крилами. Симетричний розподіл стрибків означає, що обидва крила рухаються разом. Добре підходить для короткострокових ванільних опціонів.
Kou: усмішка з незалежними крилами. Асиметричний розподіл стрибків. Бар'єрні опціони та лукбеки у замкнутій формі. Краще підходить для крипто.
Heston: усмішка від стохастичної волатильності. Зберігається на довгих термінах. Без стрибків, тому короткострокові крила надто плоскі.
Bates: Heston + стрибки Merton. Робоча конячка. Для найвимогливіших застосувань замініть компонент стрибків Merton на подвійні експоненційні стрибки у стилі Kou.
Куди рухатися далі:
Стрибкова дифузія Merton — попередник із симетричними стрибками
Variance Gamma — суто стрибкова модель без жодної дифузії
Модель Heston — стохастична волатильність, без стрибків
Модель Bates — Heston + стрибки: галузева робоча конячка