Модель стрибків-дифузії Коу з подвійним експоненційним розподілом

Мертон моделює стрибки як єдиний нормальний розподіл -- стрибки вгору та вниз мають однакову форму. Це неправильно. Обвали різкіші за ралі. Геп у -20% відбувається за хвилини; ралі у +20% триває тижнями. Коу (2002) виправляє це, надаючи стрибкам вгору та вниз різні розміри.

Механізм: експоненційні розподіли замість нормального. Стрибки вниз отримують один експоненційний розподіл (зазвичай з більшим середнім), стрибки вгору -- інший (зазвичай з меншим середнім). Можна зробити крило путів крутішим, не торкаючись крила коллів, і навпаки.

💡

Кожне крило має власний параметр

У Мертона збільшення крутизни крила путів (через від'ємний середній стрибок) також впливає на крило коллів. У Коу кожне крило незалежне. Розмір стрибка вниз робить крутішим крило путів. Розмір стрибка вгору робить крутішим крило коллів. Це відповідає крипто-усмішкам.

Дослідіть параметри

Перемкніть "Show Merton equiv", щоб побачити, як симетрична модель (Мертон) порівнюється з асиметричними крилами Коу. Спробуйте пресет "Crypto crashes", щоб побачити круте крило путів із пологим крилом коллів.

Дослідник подвійно-експоненційної усмішки Коу

Домінують стрибки вниз: 70% стрибків спрямовані вниз і в 4x більші за стрибки вгору. Круте крило путів.

Частота стрибків2.00

Очікувана кількість стрибків на рік. 0 = плоска (BS).

Ймовірність стрибка вгору0.30

Частка стрибків угору. Низька = ухил до крахів.

Розмір стрибка вгору0.05

Середня величина стрибка вгору (напр. 0.08 = 8%)

Розмір стрибка вниз0.20

Середня величина стрибка вниз (напр. 0.15 = 15%)

Увімкніть «Показати еквівалент Мертона», щоб порівняти асиметричні (Коу) та симетричні (Мертон) стрибки. Зверніть увагу, як Коу може незалежно робити крутішим одне крило.

Що робить кожен параметр

• Частота стрибків (лямбда): Скільки стрибків на рік. Нуль = Блек-Шоулз (плоска усмішка). Вища лямбда підіймає обидва крила, бо будь-який стрибок -- вгору чи вниз -- робить OTM опціони ціннішими.
• Ймовірність стрибка вгору (p): Яка частка стрибків спрямована вгору. Низьке p означає, що більшість стрибків -- це обвали. Це зсуває баланс скью.
• Розмір стрибка вгору: Середня величина гепів вгору. Більший = крутіше крило коллів.
• Розмір стрибка вниз: Середня величина гепів вниз. Більший = крутіше крило путів. У крипто воно зазвичай у 2-4 рази більше за розмір стрибка вгору.

Як Коу формує крила

Зміна параметра

Вплив на крило путів

Вплив на крило коллів

Інтуїція

Збільшення розміру стрибка вниз

Стає крутішим

Мінімальна зміна

Більші обвали = дорожчий захист путами

Збільшення розміру стрибка вгору

Мінімальна зміна

Стає крутішим

Більші ралі = дорожче крило коллів

Зменшення ймовірності стрибка вгору

Стає крутішим

Стає пологішим

Більше стрибків спрямовано вниз = зміщення до обвалів

Збільшення частоти стрибків

Підіймається

Підіймається

Більше подій загалом = більше хвостового ризику в обох напрямках

ℹ️

Незалежний контроль крил

У Мертона збільшення крутизни крила путів через від'ємний середній стрибок також впливає на крило коллів (нормальний розподіл симетричний навколо середнього). У Коу розмір стрибка вниз контролює крило путів, а розмір стрибка вгору контролює крило коллів. Перемкніть "Show Merton equiv", щоб побачити різницю.

Коу проти Мертона

Коу

Мертон

Розподіл стрибків

Подвійний експоненційний (асиметричний)

Нормальний (симетричний навколо середнього)

Незалежність крил

Крила путів і коллів контролюються окремо

Зміна скью впливає на обидва крила

Спадання хвостів

Експоненційні хвости (важчі за нормальні)

Гауссівські хвости (тонші)

Параметри

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Ціноутворення бар`єрних/лукбек-опціонів

Доступна замкнута форма

Немає замкнутої форми (потрібен MC)

Відповідність крипто

Краща (асиметричні крила відповідають реальності)

Прийнятна (але має проблеми з незалежністю крил)

Чому це важливо для криптотрейдерів

Крипто-ризик гепів є глибоко асиметричним:

Тип події

Типовий розмір

Швидкість

Параметр Коу

Каскад ліквідацій

від -10% до -30%

Хвилини

Розмір стрибка вниз (великий)

Геп через збій біржі

В обидва боки, від -20% до +10%

Миттєво

Обидва розміри стрибків + ймовірність

Ралі після схвалення ETF

від +5% до +15%

Години

Розмір стрибка вгору (помірний)

Депег стейблкоїна

від -5% до -50%

Блоки

Розмір стрибка вниз (дуже великий)

Зверніть увагу на закономірність: рухи вниз швидші та більші за рухи вгору. Мертон не може чисто відобразити цю асиметрію -- можна зсунути середнє у від'ємну область, але симетрія нормального розподілу навколо цього середнього все одно проникає у крило коллів. Подвійний експоненційний розподіл Коу природно розділяє обидва напрямки.

💡

Модель стрибків для незалежного підбору крил

Коу розділяє крила путів і коллів. Розмір стрибка вниз -- це параметр обвалу. Розмір стрибка вгору -- це параметр ралі. Вони не заважають одне одному. Якщо ви торгуєте OTM путами та коллами як окремими книгами -- а в крипто саме так і варто -- Коу відповідає цій структурі.

Дослідник рівнянь

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: У чому ключова перевага Коу над Мертоном при підборі усмішок волатильності?

Q: Чому експоненційні хвости більш реалістичні за гауссівські для розмірів стрибків у крипто?

Q: Якщо ви збільшите розмір стрибка вниз з 10% до 25%, що станеться з крилом коллів?

Q: Яку практичну перевагу має Коу над Мертоном для ціноутворення екзотичних опціонів?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Побудова математичної інтуїції

Вивчіть Коу з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок пояснює модель як окремі двигуни стрибків вгору та вниз, а потім розбирає інтуїцію подвійного експоненційного розподілу та чому він дає чистіший контроль крил, ніж Мертон.

---

Дивіться також:

• Стрибки-дифузія Мертона -- Попередник із симетричними стрибками
• Модель Бейтса -- Поєднує стохастичну волатильність зі стрибками Мертона
• Variance Gamma -- Модель чистих стрибків без дифузії
• Модель Гестона -- Стохастична волатильність (інший спосіб отримати усмішку)
• Скью -- Чому усмішка нахилена
• Блек-Шоулз -- Базова модель без стрибків
• Методи інтерполяції -- Порівняння всіх методів