Стрибкові моделі та моделі товстих хвостів

Ринок робить гепи. Експлойт протоколу, несподіване рішення ФРС, каскад ліквідацій. Моделі стохастичної волатильності погано справляються з раптовими стрибками. Стрибкові моделі обробляють їх безпосередньо: ціна телепортується на новий рівень у випадкові моменти часу.

💡

Два способи отримати товсті хвости

Стохастична волатильність (Heston, SABR) робить волатильність випадковою. Стрибкові моделі змушують стрибати саму ціну. Обидва ефекти присутні на реальних ринках -- продакшн-системи часто їх поєднують.

Короткий огляд

Модель

Ключова ідея

Найкраще підходить для

Merton Jump-Diffusion

Блек-Шоулз + випадкові стрибки. Оригінальна стрибкова модель.

Розуміння ризику краху, крутизни усмішки для коротких експірацій

Kou

Асиметричні стрибки. Крахи більші за ралі.

Незалежне підганяння крил

Variance Gamma

Чисті стрибки, без дифузії. Дохідності керуються випадковим годинником.

Товсті хвости без стохастичної волатильності. Академічний бенчмарк.

Що їх об'єднує

Усі три моделі пояснюють товсті хвости та круті усмішки для коротких експірацій, дозволяючи ціні стрибати. Вони відрізняються розподілом стрибків і наявністю неперервної дифузійної компоненти.

Модель

Розподіл стрибків

Є дифузія?

Замкнена форма?

Поведінка крил

Merton

Логнормальний (симетричний)

Так

Так (ряд)

Симетричне потовщення

Kou

Подвійний експоненційний (асиметричний)

Так

Так

Незалежні лівий/правий хвости

Variance Gamma

Броунівський рух, субординований гамма-процесом

Ні

Так

Керується параметрами скью та куртозису

Як вони пов'язані між собою

Мертон -- це оригінал: візьміть Блека-Шоулза та додайте випадкові стрибки з логнормального розподілу. Стрибки симетричні, тому модель однаково потовщує обидва хвости. Коу виправляє це, замінюючи логнормальний стрибок подвійним експоненційним, надаючи окремі параметри для стрибків угору та вниз -- крахи можуть бути більшими за ралі. Variance Gamma йде іншим шляхом: вона повністю прибирає дифузію та моделює дохідності як броунівський рух, що працює за випадковим годинником (гамма-процесом). Увесь рух походить зі стрибків. Це робить її процесом чистих стрибків, де параметри куртозису та скью безпосередньо контролюють форму хвостів.

---

Моделі в цьому розділі:

• Merton Jump-Diffusion — Оригінальна стрибкова модель
• Kou Jump-Diffusion — Асиметричні подвійні експоненційні стрибки
• Variance Gamma — Процес чистих стрибків із випадковим годинником