Методи інтерполяції для поверхонь волатильності

інфо

Це супровідна сторінка до Як будуються поверхні волатильності. Почніть звідти, щоб зрозуміти, чому інтерполяція має значення.

Поверхня волатильності має прогалини. Інтерполяція їх заповнює. Вибір методу визначає, чи буде отримана поверхня гладкою, вільною від арбітражу та стабільною. Ця сторінка порівнює основні підходи.

Порівняння методів інтерполяції

Білі точки це єдині реальні ринкові котирування. Все між ними оцінюється. Клікніть кожен метод, щоб побачити його сильні та слабкі сторони.

Що йде не так

Перш ніж заглиблюватися в кожен метод, подивіться на проблеми на власні очі. Ті самі 7 ринкових спостережень, три різні методи інтерполяції. Зверніть увагу, що відбувається на крилах і в точках даних.

Що йде не так: збої інтерполяції

Ті самі 7 ринкових спостережень, три різні методи інтерполяції. Подивіться, що відбувається на крилах.

Гладкі поліноміальні криві. Можуть осцилювати та виходити за межі на крилах.

Білі точки — єдині реальні спостереження. Натисніть «Порівняти всі», щоб накласти всі три методи. Зверніть увагу, як сплайн дає викид на лівому крилі, тоді як SVI залишається в межах.

---

Непараметричні методи

Ці методи проводять криві через точки даних без припущень про функціональну форму. Вони швидкі та прості, але не дають жодних структурних гарантій.

Лінійна інтерполяція

Проведіть прямі лінії між сусідніми точками даних.

Переваги:

• Тривіальна в реалізації
• Не потребує підгонки чи оптимізації
• Детермінована: однакові вхідні дані завжди дають однакові результати

Недоліки:

• Створює гострі кути в кожній точці даних. Ці кути призводять до розривних перших похідних, а це означає, що греки (особливо гамма) різко стрибають на спостережуваних страйках.
• Немає гарантії проти арбітражу метелика. Пряма лінія між двома точками може опуститися нижче того рівня, де мала б бути опукла усмішка.
• Екстраполяція — чиста спекуляція (просто продовжує нахил останнього сегмента).

Використовуйте для: швидких оцінок, перевірок на здоровий глузд, налагодження. Не для продакшн-ціноутворення.

Інтерполяція кубічним сплайном

Підганяються кусково-кубічні поліноми між точками даних з обмеженням, щоб перша та друга похідні збігалися в кожному стику. Результат — $C^2$-гладка крива (неперервна кривизна).

Назва походить від фізичних креслярських сплайнів: гнучких дерев'яних смуг, які креслярі згинали між шпильками, щоб малювати плавні криві.

Переваги:

• Гладка крива через усі точки даних
• Не потребує оцінки параметрів (сплайн визначається даними та граничними умовами)
• Швидкий у обчисленні

Недоліки:

• Феномен Рунге: на краях області інтерполяції поліном може дико вистрілювати. Для поверхонь волатильності це означає, що IV на крилах різко зростають або стають від'ємними.
• Осциляція: між точками даних кубічна крива може коливатися вище або нижче того, що дала б добре поводжена усмішка, створюючи увігнуті провали (арбітраж метелика).
• Чутливість до викидів: одна погана точка даних (застаріле котирування, помилкове введення) спотворює всю криву, оскільки обмеження гладкості поширюють помилку.
• Немає контролю над поведінкою екстраполяції.

Використовуйте для: візуалізації, академічної роботи або як початкове наближення перед параметричною підгонкою. Не для продакшн-ціноутворення чи оцінки ризиків.

---

Параметричні методи

Ці методи припускають функціональну форму усмішки та підганяють її параметри до даних. Вони обмінюють точну інтерполяцію на структурний контроль.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Галузевий стандарт для поверхонь волатильності крипти та акцій. П'ять параметрів на зріз кожної експірації.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Дивіться повний довідник: Параметризація SVI

Чому він домінує: SVI — це золота середина між гнучкістю та економністю. П'ять параметрів можуть підігнати майже будь-яку спостережувану форму усмішки, тоді як прості обмеження-нерівності гарантують відсутність арбітражу метелика. Крила наближаються до лінійних асимптот, тому екстраполяція обмежена та розумна.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Модель стохастичної волатильності, яка виводить усмішку з припущень про те, як еволюціонує волатильність. Чотири параметри: $\alpha$ (рівень волатильності), $\beta$ (експонента CEV), $\rho$ (кореляція спот-волатильність), $\nu$ (волатильність волатильності).

Дивіться повний довідник: Модель SABR

Чому вона існує: SABR фіксує динаміку усмішки, а не лише статичну форму. Вона говорить, як усмішка повинна рухатися, коли рухається базовий актив (за замовчуванням sticky delta). Це робить її природною для процентних свопціонів, де динаміка усмішки має значення для хеджування.

Локальна волатильність (Дюпір)

Не є методом підгонки у звичайному сенсі. Локальна волатильність виводить поверхню миттєвої волатильності зі спостережуваної поверхні імпліцитної волатильності. Вона відповідає на питання: «Якою повинна бути миттєва волатильність у кожній комбінації (спот, час), щоб точно відтворити ці ціни опціонів?»

Дивіться повний довідник: Локальна волатильність

Чому вона існує: локальна волатильність — це єдина вільна від арбітражу модель, яка точно відповідає всім спостережуваним цінам опціонів. Це міст між імпліцитною волатильністю та ціновим рушієм, здатним обробляти виплати, залежні від траєкторії.

SSVI (Surface SVI)

Розширення SVI, яке моделює всю поверхню спільно, а не зріз за зрізом. SSVI забезпечує відсутність календарного арбітражу за побудовою: гарантується, що загальна дисперсія зростає з терміном погашення на кожному страйку.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Де $\theta_t$ — загальна дисперсія ATM у момент часу $t$, а $\varphi(\theta_t)$ контролює, як скью еволюціонує з терміном погашення.

Компроміс: менше вільних параметрів, ніж у SVI по зрізах (форма усмішки пов'язана між експіраціями), тому підгонка може бути дещо гіршою на окремих зрізах. Але вам ніколи не знадобляться постфактум виправлення календарного арбітражу.

---

Порівняльна таблиця

Метод

Параметри

Без арбітражу?

Екстраполяція

Швидкість

Найкраще для

Лінійна

0

Ні

Необмежена

Миттєва

Налагодження

Кубічний сплайн

~12 (неявно)

Ні

Осцилює

Швидка

Візуалізація

SVI

5 на зріз

Так (з обмеженнями)

Обмежена лінійна

Швидка

Крипта / акції

SABR

4

Здебільшого

Розумна

Середня

Ставки / свопціони

Локальна волатильність

Повна сітка

За побудовою

N/A (виводиться)

Повільна

Ціноутворення екзотики

SSVI

~6 (поверхня)

Так (календарний теж)

Обмежена

Швидка

Узгодженість усієї поверхні

Як обрати

• Для продакшн-ціноутворення крипти/акцій: SVI або SSVI. Індустрія зійшлася на цьому не просто так.
• Для процентних опціонів: SABR. Він фіксує динаміку усмішки, що має значення для хеджування свопціонів.
• Для ціноутворення екзотичних деривативів: локальна волатильність (або гібрид стохастичної локальної волатильності). Вам потрібна вся поверхня, а не лише зрізи.
• Для швидкого аналізу чи візуалізації: кубічний сплайн підходить, доки ви не торгуєте на його основі.
• Ні для чого: лінійна інтерполяція в продакшні. Серйозно.

---

Дослідник рівнянь

Усі методи інтерполяції працюють із загальною дисперсією та лог-монейністю. Використовуйте цей калькулятор для конвертації між представленнями.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Дивіться також:

• Як будуються поверхні волатильності - повний конвеєр
• Параметризація SVI - глибокий розбір SVI
• Модель SABR - глибокий розбір SABR
• Локальна волатильність - глибокий розбір моделі Дюпіра