Heston з нуля
1/5Дисперсія жива
Модель Блека-Шоулза розглядає волатильність як фіксоване число, проштамповане на контракті. Воно ніколи не змінюється. Світ, очевидно, працює не так. Хестон виправляє це, надаючи дисперсії власне стохастичне диференціальне рівняння.
У Black-Scholes ціна спота слідує одному SDE зі сталою σ. Кожен опціон, кожен страйк, кожна експірація використовує ту саму волатильність. Модель внутрішньо узгоджена, але хибна: ринок котирує різну σ для кожного страйку. Це і є усмішка, і BS не може її відтворити.
Уявіть спот як автомобіль, а дисперсію -- як покриття дороги. У BS дорога всюди -- ідеально рівний асфальт. У Хестона саме покриття змінюється: то гравій, то лід, то свіжий асфальт. Автомобіль реагує на те покриття, яким їде. Чим нерівніша дорога, тим тряскіша поїздка.
Heston каже: спот рухається як у BS, але зі змінною √v замість сталої σ. А дисперсія слідує власному процесу з поверненням до середнього за квадратним коренем:
Другий рядок: дисперсія має власний дрейф (притягуючи до θ) і власний шум (масштабований на σ).
Третій рядок: два броунівські рухи корельовані. Це двигун, що стоїть за скью.
Друге рівняння -- це процес CIR (Cox-Ingersoll-Ross), той самий процес, який використовується для процентних ставок. У нього є вбудована межа: √член дифузії v зменшується, коли v наближається до нуля, що запобігає тому, щоб дисперсія стала від'ємною (за належних умов).
Результат: волатильність може стрибати, згасати, кластеризуватися і рухатися разом зі спотом. Усі ці патерни видно на реальних ринках. BS не може відтворити жоден із них. Хестон може.
П'ять параметрів
У Хестона рівно п'ять вільних параметрів. Кожен розповідає окрему історію про поведінку ринку. Навчіться читати їх, як приладову панель.
κ (kappa) -- швидкість повернення до середнього. Наскільки сильно дисперсія притягується назад до свого довгострокового рівня. Високе κ означає, що сплески волатильності короткочасні: процес швидко повертається. Низьке κ означає, що режими волатильності зберігаються. У крипто,κ зазвичай низьке -- волатильність залишається підвищеною після шоку.
θ (theta) -- довгострокова дисперсія. Рівень, до якого дисперсія тяжіє з часом. Якщо взяти √θ, ви отримаєте приблизно довгострокову ATM-волатильність. Для BTC це зазвичай десь близько 50-70% у річному вимірі.
σ (sigma) -- волатильність волатильності. Наскільки хаотичним є сам процес дисперсії. Коли σ = 0, посмішки взагалі немає -- ви повертаєтесь у світ детермінованої волатильності. Зі зростанням σ обидва крила посмішки піднімаються. Уявіть це так: більше випадковості в дисперсії = товстіші хвости = дорожчі OTM-опціони.
ρ (rho) -- кореляція спот-волатильність. Напрямковий зв'язок між рухами споту та рухами волатильності. Від'ємне ρ означає: спот вниз, волатильність вгору. Це єдиний найважливіший параметр для скью. Ми детально розглянемо його в наступному розділі.
v₀ -- початкова дисперсія. Де дисперсія знаходиться зараз. Якщо v₀ вище за θ, короткострокові опціони враховують поточний стрес, тоді як довгострокові опціони схиляються назад до норми. Після сплеску волатильності, v₀ >θ і часова структура інвертується.
Перетягуйте повзунки вище. Зосереджуйтесь на одному параметрі за раз. Найбільше осяяння: ρ нахиляє посмішку вліво або вправо. σ розширює її. κ/θ/v₀ встановлюють рівень і часову структуру.
Як кореляція створює скью
Це головна математична ідея Хестона. Від'ємна ρ означає, що коли спот падає, дисперсія зазвичай зростає. Ця єдина залежність породжує весь лівоскошений смайл, який ви бачите на фондових і криптовалютних ринках.
Ось механізм, крок за кроком:
1. Спот падає (dW₁ є від'ємним).
2. Оскільки ρ < 0, dW₂ зазвичай є позитивним.
3. Позитивний dW₂ штовхає варіацію вгору.
4. Вища варіація означає, що базовий актив тепер більш волатильний.
5. OTM пути (низькі страйки) стають більш ймовірними завершитися у грошах.
6. Ринок оцінює їх дорожче. Ліве крило усмішки піднімається.
Зворотне теж справедливе: спот угору -- волатильність униз. Опціони на стороні коллів втрачають частину премії за волатильність. Тому праве крило зазвичай пласкіше за ліве.
Перемикайтеся між трьома пресетами вище. Різниця вражає:
ρ = −0.7: Сильний лівий скью. Саме так виглядають ринки акцій і крипторинки. Захист від зниження є дорогим, тому що волатильність зростає, коли ринок падає.
ρ = 0: Симетрична усмішка. Немає спрямованої переваги між спотом і волатильністю. Ви отримуєте чисту кривизну від vol-of-vol, але без нахилу.
ρ = +0.3: Правий скью. Опціони на зростання відносно дорогі. На практиці це рідкість, але може виникати на товарних ринках, де шоки пропозиції штовхають угору і ціну, і невизначеність разом.
ρ прямо відображається на ванна експозицію. Ванна — це чутливість дельти до змін волатильності. Колиρ є сильно негативним, OTM пути мають велику позитивну ванну: їхня дельта стає більш негативною зі зростанням волатильності. Ось чому короткі пут-позиції стають небезпечнішими під час розпродажу — вони мають коротку ванну.
Характеристична функція
Більшість моделей стохастичної волатильності потребують симуляції Монте-Карло для ціноутворення. У Хестона є трюк: опціони можна оцінювати через обернене перетворення Фур'є відомої характеристичної функції. Симуляція не потрібна.
Стандартна формула ціни колл-опціону Black-Scholes має вигляд C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston має аналогічну структуру:
Ключовим об'єктом є характеристична функція φ(u). Вона кодує все про розподіл ймовірностей логарифма спотової ціни на експірацію. Вважайте це відбитком пальця розподілу у частотному просторі.
Чому це працює? Три кроки:
1. Твірна функція моментів. Оскільки SDE Heston є афінним (лінійним щодо змінних стану), його твірну функцію моментів можна розв'язати у замкненому вигляді. Це та математична випадковість, яка робить Heston особливим.
2. Характеристична функція = MGF на уявній осі. Характеристична функція — це φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Щойно ви маєте MGF, ви маєте φ.
3. Інвертуйте для щільності, інтегруйте для ціни. Стандартна інверсія Фур'є відновлює ризик-нейтральну щільність з φ. Інтегрування цієї щільності проти виплати дає вам ціну опціону. Інтеграл є одновимірним і збігається за мікросекунди.
Результат: повний смайл обчислюється за мілісекунди, а не за хвилини. Це робить калібрування здійсненним. Можна підігнати п'ять параметрів до спостережуваного смайла, обчислюючи цей інтеграл тисячі разів усередині оптимізатора.
До Heston (1993) моделі стохастичної волатильності існували, але були непрактичними -- вам доводилося симулювати траєкторії, щоб оцінити один опціон. Характеристична функція Heston зробила стохастичну волатильність придатною для використання на торговому столі. Кожна похідна модель (Bates, подвійний Heston, rough Bergomi) намагається зберегти або наблизити цю структуру ціноутворення за Фур'є.
Коли Хестон ламається
Хестон елегантний, але має реальні обмеження. Процес дисперсії може торкатися нуля, форма смайла надто жорстка для крипти, а задача підгонки п'яти параметрів -- мінне поле локальних оптимумів.
Умова Феллера. Щоб варіація залишалася строго позитивною, вам потрібно:
На практиці підібрані параметри Heston часто порушують умову Феллера. Ринок хоче більше vol-of-vol (σ), ніж дозволяє умова Феллера. При порушенні процес варіації може торкнутися нуля і повинен бути "відбитий" або "поглинутий" — що створює числові головні болі та робить модель менш надійною в крилах.
Збільшуйте σ і спостерігайте, як порушується умова Феллера. Червоні траєкторії досягають нуля. У реальному ціновому рушії такі дотики до нуля потребують спеціальної обробки, що сповільнює обчислення і вносить непомітні помилки.
Крипто-усмішки надто круті. Короткострокові криптоопціони часто мають надзвичайно круті скью та широкі крила. CIR-процес варіації Heston є надто гладким, щоб це відобразити. Поведінка крил моделі наближається до сталого нахилу, але реальні крипто-крила крутіші за це. Ось чому криптодеск використовує SVI або SSVI для підгонки поверхні та розглядайте Heston як концептуальний інструмент, а не як продакшн-двигун для підгонки.
Підгонка п'яти параметрів є нестабільною. Різні комбінації параметрів можуть давати майже ідентичні усмішки. Оптимізатор має кілька локальних мінімумів. Щоденні калібрування можуть стрибати між кардинально різними наборами параметрів, при цьому даючи схожі ціни. Це робить хеджування ненадійним, оскільки грецькі величини залежать від того, на якому наборі параметрів ви зупинилися.
Розширення, що виправляють ці проблеми:
Bates = Heston + стрибки. Додавання компонента стрибка до спотового процесу дає вам товстіші короткострокові крила без потреби в необґрунтованих значеннях σ. Інтенсивність і розмір стрибка додають додаткові параметри, але характеристична функція все ще має напівзамкнену форму.
Стохастична локальна волатильність (SLV). Поєднує стохастичну дисперсію у стилі Heston з накладенням локальної волатильності. Ви отримуєте точне калібрування до спостережуваної поверхні (від локальної волатильності) плюс реалістичну динаміку (від стохастичного компонента). Саме це насправді запускають багато продакшн-десків.
Rough Bergomi. Замінює гладкий процес дисперсії CIR фрактальним броунівським рухом (параметр Херста H близько 0.1). Шляхи дисперсії стають шорсткими та зубчастими, набагато краще відповідаючи спостережуваній поведінці волатильності. Ціна: відсутність характеристичної функції у замкненій формі.
Куди рухатися далі:
Параметризація SVI -- стандарт підгонки смайла для криптовалютних поверхонь волатильності
Модель SABR -- стохастична волатильність без повернення до середнього, простіша підгонка
Rough Bergomi -- дробова стохастична волатильність, шорсткі траєкторії
Методи інтерполяції -- порівняння всіх методів