Модель Гестона

Гестон — це перша стохастична модель волатильності з придатною для використання формулою ціноутворення. Волатильність слідує процесу, що повертається до довгострокового рівня (вона не блукає до нескінченності), і саме це ми фактично спостерігаємо на ринках — волатильність зростає стрибком, а потім згасає. Модель створює скью і посмішку через кореляцію між рухами ціни та рухами волатильності, генеруючи повну поверхню волатильності з єдиного набору параметрів.

Вам не потрібен Гестон для крипти. Але кожна стохастична модель волатильності після нього — SABR, rough Bergomi, стохастична локальна волатильність — є нащадком цієї ідеї. Розуміти Гестона означає розуміти ДНК сучасного моделювання імпліцитної волатильності.

💡

Концептуальний предок

Гестон для стохастичної волатильності — це те саме, що Блек-Шоулз для ціноутворення опціонів: фундаментальний каркас, який усе інше розширює або від якого відштовхується. Вам не потрібно використовувати його для крипти, але потрібно розуміти його, щоб орієнтуватися в моделях, які ви дійсно використовуєте.

Інтуїція параметрів

Змінюйте кожен параметр, щоб побачити, як змінюється посмішка Гестона.

Дослідник усмішки Гестона

Типова усмішка для акцій. Сильний скью путів через від'ємне ρ, помірна волатильність волатильності.

κ (повернення до середнього)2.0

Швидкість повернення дисперсії до θ

θ (довгострокова дисперсія)0.040

Рівень довгострокової дисперсії. Приблизно дорівнює квадрату довгострокової ATM-волатильності

σ (вол волатильності)0.500

Контролює кривизну усмішки. 0 = плоска (BS).

ρ (кореляція спот-вол)-0.700

Від'ємна = скью путів (типово)

v₀ (початкова дисперсія)0.040

Поточна дисперсія. Співвідношення поточної та довгострокової задає нахил часової структури

IV ATM

20.0%

Нахил крила путів

+0.28%/strike

Нахил крила коллів

-0.13%/strike

Часова структура

Поточна = довгостроковій (плоска часова структура)

ρ контролює скью (нахил), σ — кривизну (ширину крил), κ/θ/v₀ — рівень волатильності та часову структуру.

П'ять параметрів одним поглядом:

Параметр

Що він контролює

Вплив на посмішку

kappa — швидкість повернення до середнього

Як швидко волатильність повертається до довгострокового рівня

Висока kappa швидко вирівнює часову структуру

theta — довгострокова дисперсія

Рівноважний рівень волатильності, до якого дрейфує процес

Задає загальний рівень посмішок для далеких дат

sigma — волатильність волатильності

Наскільки волатильним є сам процес волатильності

Вища sigma піднімає обидва крила (товстіші хвости)

rho — кореляція спот-волатильність

Зв'язок між рухами ціни та рухами волатильності

Негативна rho робить ліве крило крутішим (пут-скью)

v0 — початкова дисперсія

Де волатильність знаходиться зараз

Розрив між v0 і theta нахиляє часову структуру

Як відчувається кожен параметр

• kappa (швидкість повернення до середнього): Як швидко волатильність повертається до норми. Висока kappa означає, що шоки волатильності швидко згасають — часова структура вирівнюється. Низька kappa означає, що режими волатильності затримуються. У крипті kappa зазвичай низька: режими волатильності стійкі.

• theta (довгострокова дисперсія): Рівень волатильності, до якого процес тяжіє з часом. Квадратний корінь із theta — це приблизно ATM волатильність для далеких дат. У BTC це зазвичай 50–70% у річному вимірі.

• sigma (волатильність волатильності): Контролює ширину посмішки. Коли sigma = 0, посмішки немає. Зі зростанням sigma обидва крила піднімаються. Та сама ідея, що й nu у SABR. Висока sigma = товсті хвости = дорогі OTM крила.

• rho (кореляція спот-волатильність): Контролює скью. Негативна rho означає, що волатильність зростає, коли базовий актив падає. У крипті rho зазвичай від -0.5 до -0.8. Більш негативна = крутіший пут-скью. Це безпосередньо впливає на поведінку хеджування за дельтою.

• v0 (початкова дисперсія): Де волатильність знаходиться зараз. Якщо v0 вище theta, часова структура нахилена вниз (очікується згасання волатильності). Якщо v0 нижче theta, вона нахилена вгору. Після стрибка волатильності v0 >> theta, і часова структура інвертується.

ℹ️

Повернення до середнього відрізняє Гестона від SABR

Процес волатильності Гестона повертається до довгострокового рівня. У SABR — ні: волатильність може дрейфувати нескінченно. Волатильність Гестона не може вибухнути до нескінченності. У SABR може, тому SABR іноді видає нереалістичні посмішки для далеких дат. Для хеджування вегою повернення до середнього означає, що вега-експозиція за далекими датами згасає передбачувано.

💡

Два параметри, дві грецькі експозиції

rho відповідає скью (та експозиції за ванною). sigma відповідає кривизні посмішки (та експозиції за волгою). Ці два зв'язки — ядро моделі Гестона.

Сильні сторони та обмеження

Сильна сторона

Що це означає для вас

Швидка формула ціноутворення

На відміну від більшості стохастичних моделей волатильності, опціони за Гестоном можна оцінювати через один інтеграл. Тисячі цін на секунду.

Волатильність повертається до норми

Реалістична поведінка — за стрибками волатильності йде повернення до середнього. Створює природну часову структуру.

Достатньо багата для скью та посмішки

rho контролює скью, sigma контролює кривизну. П'ять параметрів покривають більшість ліквідних ринків.

Величезна екосистема інструментів

Вивчається з 1993 року. Бібліотеки на кожній мові. Якщо ви зіткнетеся з проблемою, хтось її вже вирішив.

Обмеження

Що це означає для вас

5 параметрів = нестабільне калібрування

Різні комбінації параметрів можуть давати схожі посмішки. Калібрування може стрибати з дня на день.

Калібрування примхливе

Кілька локальних мінімумів. Потрібні хороші початкові наближення та методи глобального пошуку.

Не може відтворити криптопосмішки коротких дат

Криптопосмішки надто круті й широкі на коротких датах. Гестон надто гладкий для динаміки крипто-волатильності.

Крила надто плоскі

Крила Гестона наближаються до постійного нахилу. Реальні криптопосмішки часто мають крутіші крила на далеких OTM страйках.

⚠️

Не використовуйте Гестона для калібрування криптопосмішок

Якщо ви будуєте поверхню волатильності для крипто-опціонів, використовуйте SVI або SSVI. Калібрування 5 параметрів Гестона повільніше, менш стабільне і дає гірші результати, ніж спеціалізовані моделі посмішки. Гестон — це модель ціноутворення, а не інструмент калібрування посмішки. Його цінність концептуальна. Ви не можете уникнути проблем із календарним арбітражем без додаткових обмежень, тоді як SSVI гарантує поверхні без календарного арбітражу за побудовою.

Гестон проти SABR

Вимір

Гестон

SABR

Динаміка волатильності

Повертається до довгострокового рівня

Випадкове блукання (без повернення до середнього)

Вільні параметри

5

3 (з фіксованою beta)

Ціноутворення

Напівзакрита формула (швидко)

Апроксимаційна формула (ще швидше)

Калібрування

Глобальна оптимізація, примхлива

Калібрування 2 параметрів, швидке та стабільне

Часова структура

Вбудована (повернення до середнього)

Лише окремо для кожного зрізу

Посмішки коротких дат

Надто гладкі

Краще (але все одно обмежено)

Найкраще для

Екзотика на акціях, FX

Відсоткові ставки, ванільні FX

Використання в крипті

Рідко

Рідко (перевага у SVI)

💡

Компроміс Гестон проти SABR

Гестон дає вам вбудовану узгодженість часової структури — кожен страйк пов'язаний із тим самим процесом дисперсії. Ціна цього: складніше калібрування і більше параметрів. SABR простіший і швидший.

Родове дерево

Щоразу, коли ви бачите модель волатильності зі "стохастичною дисперсією" або "волатильністю з поверненням до середнього", ви дивитеся на нащадка Гестона.

Модель

Що вона змінила порівняно з Гестоном

SABR

Замінила дисперсію з поверненням до середнього на волатильність-випадкове блукання. Простіше калібрування, зрозуміла інтуїція параметрів.

Bates

Додала стрибки до Гестона. Товстіші крила завдяки компоненті стрибків.

Rough Bergomi

Замінила гладкі траєкторії дисперсії на шорсткі, зубчасті. Відповідає спостережуваній шорсткості волатильності.

Стохастична локальна волатильність (SLV)

Поєднала стохастичну дисперсію в стилі Гестона з локальною волатильністю. Точне калібрування плюс реалістична динаміка.

Дослідник рівнянь

Конвертуйте між імпліцитною волатильністю, повною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

Побудова математичної інтуїції

Вивчити Гестона з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок подає Гестона як систему з двох двигунів: рухи споту та рухи дисперсії. Він проходить через п'ять параметрів, два рівняння і точну причину, чому негативна rho створює скью.

---

Дивіться також:

• Модель SABR — Стохастична волатильність із простішим калібруванням
• Параметризація SVI — Стандарт калібрування посмішки для крипти
• SSVI — SVI, розширений на всю поверхню
• Rough Bergomi — Дробова стохастична волатильність
• Скью — Патерни структури страйків в імпліцитній волатильності
• Часова структура — Як посмішка змінюється зі строком
• Методи інтерполяції — Порівняння всіх методів

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Якщо kappa (швидкість повернення до середнього) дуже висока, що відбувається з часовою структурою імпліцитної волатильності?

Q: Чому Гестон є поганим вибором для прямого калібрування криптопосмішок волатильності?

Q: Який зв'язок між параметром rho Гестона та греком ванна?

Q: Що дає вам Гестон, чого не дає SABR?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.