Греки з нуля

1/6

Розділ 1

Що таке грек?

Ціна опціону залежить від кількох параметрів: спот-ціни, часу, волатильності, ставок. Грек показує, наскільки зміниться ціна опціону, коли один із цих параметрів зміниться на невелику величину.

Якщо ви пам'ятаєте нахили з матаналізу, грек — це частинна похідна. Якщо ні, думайте так: грек — це відповідь на питання «якщо я трохи зміню цей один параметр, наскільки відреагує ціна мого опціону?»

Ось і все. Кожен грек відповідає зміні іншого параметра. Дельта — зміна споту. Тета — зміна часу. Вега — зміна волатильності. Та сама ідея, інша ручка налаштування.

Основна ідея

Greek = (change in option price) / (change in input)

Це просто нахил. Крива ціни опціону залежить від багатьох змінних. Кожен грек вимірює нахил в одному напрямку, коли все інше залишається незмінним.

Інтерактивний віджет нижче показує криву ціни колла як функцію споту. Дотична лінія в кожній точці має нахил. Цей нахил — дельта. Кожен грек працює так само, лише вздовж іншої осі.

Спот-ціна$100

Ціна колла: $10.13Дельта: 0.6174

Перетягніть повзунок споту. Спостерігайте, як обертається дотична. Глибоко в грошах нахил наближається до 1. Далеко поза грошима — до 0. На грошах він близький до 0.5. Цей нахил дотичної — дельта.

Розділ 2

Дельта

Дельта — перший грек, який усі вивчають, і той, яким ви користуєтеся найчастіше. Для колла дельта коливається від 0 до 1. Вона відповідає на питання: «на скільки доларів рухається мій опціон на кожен $1 руху базового активу?»

У Black-Scholes дельта колла — це просто N(d₁) — кумулятивний нормальний розподіл, обчислений у d₁. Чим глибше в грошах, тим ближче дельта до 1. Чим далі поза грошима, тим ближче до 0.

Дельта колла

Δ = N(d₁)

N() — це стандартна нормальна CDF. d₁ — це той самий підсумок з Black-Scholes: ln(S/K) + (r + σ²/2)T все поділене на σ√T.

Спот-ціна$100

Ціна колла: $10.13Дельта: 0.6174

Практична інтерпретація: дельта також показує приблизну ймовірність того, що опціон закінчиться у грошах. Колл із дельтою 25 має приблизно 25% шансів завершитися ITM. Не точно, але достатньо для інтуїції.

Коефіцієнт хеджування: якщо ви продали один колл, вам потрібно купити дельту одиниць базового активу, щоб бути дельта-нейтральним. Якщо дельта 0.50, купуйте 50 одиниць на опціон. Коли спот рухається, дельта змінюється, і ви коригуєте позицію.

Розділ 3

Гамма

Гамма — це швидкість зміни дельти. Якщо дельта показує, де ви знаходитеся, то гамма показує, як швидко змінюється дельта під час руху споту.

Математично гамма — це друга похідна ціни опціону за спотом. На практиці вона важлива, бо дельта-хеджування — не одноразова дія. Коли спот рухається, дельта зміщується, і потрібно рехеджувати. Гамма вимірює, наскільки.

Гамма

Γ = N'(d₁) / (S · σ · √T)

N'() — це нормальна щільність (PDF), сама дзвоноподібна крива. Гамма завжди додатна як для коллів, так і для путів. Вона досягає піка, коли опціон на грошах (ATM).

Спотова ціна$100

Дельта: 0.6174Гамма: 0.02198

Перетягніть повзунок і спостерігайте, як гамма (синя) сягає піка прямо на страйку. Далеко від страйку дельта майже не змінюється — опціон або рухається долар до долара зі спотом (глибоко ITM), або майже не рухається (глибоко OTM). Поблизу страйку дельта змінюється швидко, тому гамма висока.

Чому гамма важлива для PnL: гамма створює кривизну на ціновій кривій. Для руху спота на $2 дельта вносить Δ × $2, але гамма вносить додатково ½ Γ × $2². Цей додатковий член — це гамма-PnL — саме тому довгі опціони перевершують свій дельта-хедж на великих рухах.

Розділ 4

Тета

Тета — це часовий розпад. Кожен день, що минає, опціон втрачає частину вартості — навіть якщо більше нічого не змінюється. Тета показує, скільки саме.

Для довгих позицій в опціонах тета від'ємна: ви щодня втрачаєте вартість. Для коротких позицій тета додатна: ви збираєте «ренту». Це головний компроміс в опціонах — ви платите тету за право заробити гамму на великих рухах.

Тета (за день)

Θ = −[S · N'(d₁) · σ / (2√T) + r · K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)] / 365

Дві частини: перша — часовий розпад волатильної складової. Друга — вартість утримання дисконтованого страйку. Обидві зменшують ціну опціону з плином часу.

Днів до експірації180d

Ціна: $10.06Тета/день: -0.0260

Зверніть увагу, як розпад прискорюється ближче до експірації. Крива стає крутішою, бо тета зростає за модулем у міру того, як спливає час.

Ключова закономірність: тета прискорюється перед експірацією. Опціон ATM втрачає більше вартості за день в останній тиждень, ніж у будь-який попередній. Крива різко крутішає — саме тому короткострокові опціони є улюбленцями збирачів тети та ризиком катастрофічних збитків.

Правило трейдера

Гамма і тета — дві сторони однієї медалі. Якщо у вас довга позиція по гаммі (виграєте від великих рухів), ви платите тету. Якщо ви збираєте тету, у вас коротка позиція по гаммі (втрачаєте на великих рухах). Безкоштовних обідів не буває.

Розділ 5

Вега

Вега вимірює, наскільки змінюється ціна опціону, коли імпліцитна волатильність рухається на 1 процентний пункт. Вона завжди додатна як для коллів, так і для путів — вища волатильність означає вищі ціни опціонів.

Вега насправді не є грецькою літерою (у грецькому алфавіті немає літери «вега»). Але традиція прижилася. Дехто використовує ню (ν) натомість.

Вега (на 1% IV)

ν = S · N'(d₁) · √T / 100

Ділення на 100 переводить із чутливості на одиницю волатильності в чутливість на процентний пункт. Більше часу до експірації = більша вега, бо у волатильності більше простору проявити себе.

Імпліцитна волатильність25%

Ціна: $10.13Вега: $0.2747/1% IV

Де вега найважливіша: опціони ATM мають найвищу вегу. Глибоко ITM або OTM опціони майже не реагують на зміни волатильності — у них уже домінує внутрішня вартість або нікчемність.

Практичне застосування: якщо ви торгуєте подію волатильності (звітність, FOMC), вам потрібно знати свою вега-експозицію. Вега $0.15 на 10 контрактах означає, що падіння IV на 1% коштує вам $150.

Розділ 6

Збираємо все разом

У реальній торгівлі все рухається одночасно: спот, час і волатильність. Греки дозволяють розкласти ваш PnL на частини — що прийшло від дельти, що від гамми, що ви втратили на теті, і що дала або забрала волатильність.

Розклад Тейлора зміни ціни опціону:

dC ≈ Δ·dS + ½Γ·dS² + Θ·dt + ν·dσ

Наведіть курсор на будь-яку частину формули, щоб побачити її значення.

Переміщуйте повзунки нижче. Спостерігайте за внеском кожного грека. Рядок «залишок» показує, що пропускає наближення першого порядку — він малий для незначних рухів і зростає для великих.

Зміна споту+2

Минуло днів1d

Зміна IV+0%

Атрибуція P&L

Дельта0.617 x $2+1.235

Гамма0.5 x 0.02198 x $2^2+0.044

Тета-0.0259 x 1d-0.026

Вега0.2747 x 0%+0.000

Атрибутовано+1.253

Фактично+0.625

Залишокчлени вищого порядку-0.628

На що звернути увагу: при малих рухах споту домінує дельта. При великих рухах вступає гамма. Тета стабільна і передбачувана. Вега — джокер: вона повністю залежить від того, як рухається волатильність, а це передбачити неможливо.

Саме так професійні дески щодня аналізують PnL. Питання ніколи не звучить просто «я заробив чи втратив гроші?» Воно звучить «звідки прийшов PnL?»