Зміщена дифузія з нуля

1/5

Розділ 1

Зсуньте початок координат — отримаєте усмішку

Модель Блека-Шоулза припускає, що спот-ціна дифундує логнормально від поточного рівня. Зміщена дифузія змінює одне: вона зсуває початок координат. Дифузія залишається логнормальною, але вісь, на якій вона живе, змістилася.

SDE гранично просте:

SDE зміщеної дифузії

dS = σ·(S + d)·dW

S — це спот-ціна. d — це параметр зміщення. σ — це волатильність зміщеної змінної. Коли d = 0, це Блек-Шоулз.

Це вся модель. Один додатковий параметр d, доданий до стандартної BS. Коефіцієнт дифузії пропорційний (S + d), а не просто S. Цей зсув порушує симетрію логнормальної усмішки і створює скью.

Чому зсув початку координат породжує скью? Тому що відсоткова волатильність зміщеної змінної дорівнює σ, але відсоткова волатильність самого S змінюється залежно від рівня. Коли S низьке, S + d відносно велике порівняно з S, тому ефективна волатильність у відсотках вища. Коли S високе, зміщення d важить менше, і ви наближаєтеся до випадку BS.

Ментальна модель

Уявіть, що ви вимірюєте від іншої нульової точки. Замість вимірювання від 0 ви вимірюєте від −d. Базовий актив не змінився, але змінилася лінійка. Такої зміни системи відліку достатньо, щоб отримати нахилену усмішку.

Розділ 2

Параметр зміщення

Зміщення d — єдиний важіль, який у вас є. Він контролює напрямок і величину скью. Зрозуміти, що він робить, — означає зрозуміти всю модель.

d > 0 (додатне зміщення): Початок координат зсувається вправо. Для заданої σ низькі ціни бачать більшу ефективну волатильність (бо S + d велике відносно S), а високі — меншу. Результат: крива імпліцитної волатильності нахилена вниз зліва направо. Це від'ємний скью — той самий напрямок, що й на ринках акціонерних активів та крипторинках.

d < 0 (від'ємне зміщення): Початок координат зсувається вліво. Тепер високі ціни бачать пропорційно більшу волатильність. Результат: додатний скью. Це рідкість, але може моделювати ринки, де волатильність зростає з ціною (наприклад, деякі сировинні товари).

d = 0: Жодного зсуву. Ви знову в моделі Блека-Шоулза. Плоска усмішка.

Повзунок зміщення

d20

d = 20 — Позитивне зміщення: негативний скью (волатильність низьких страйків зростає)

ATM IV30.0%

Скью пут 90/100+2.7%

Скью колл 110/100-2.3%

Потягніть повзунок вище. Зверніть увагу, як усмішка поступово нахиляється зі збільшенням d. В усмішці зміщеної дифузії немає кривизни — вона майже лінійна на краях. Це фундаментальне обмеження: DD може дати нахил, але не U-подібну форму, яку ви бачите на реальних ринках.

Розділ 3

Зміщена дифузія = зсунутий Блек-Шоулз

Ось операційний інсайт, який робить DD такою корисною: вам не потрібна нова формула ціноутворення. Ви використовуєте стандартний Блек-Шоулз зі зсунутими вхідними даними. Замініть S на (S + d) і K на (K + d). Готово.

Логіка проста. Визначимо S̃ = S + d. Тоді SDE стає dS̃ = σ·S̃·dW, що є просто геометричним броунівським рухом для зсунутої змінної. Стандартна BS застосовується до S̃ зі страйком K̃ = K + d.

Відображення ціноутворення

C(S, K, σ, d) = BS_call(S + d, K + d, σ)

Будь-яка система, що вміє оцінювати колли за BS, може оцінювати колли за DD. Подайте їй зсунуті вхідні дані й зчитайте ціну. Греки працюють так само з поправкою за правилом ланцюга.

Перехід до зміщеної моделі Блека–Шоулза

Стандартний Блек–Шоулз

C = S·N(d₁) − K·e^−rT·N(d₂)

S = 100, K = 95, σ = 30%

Ціноутворення з вихідними спотом і страйком. Без зміщення. Дає плаский смайл.

→

Зміщена дифузія

C = (S+d)·N(d₁′) − (K+d)·e^−rT·N(d₂′)

S+d = 120, K+d = 115, σ = 30%

Та сама формула BS, та сама σ. Просто підставте зміщені вхідні дані. Смайл виникає зі зміщення, а не зі зміни формули.

d20

With d = 20: low strikes get a bigger percentage boost (95+20 = 115) than high strikes. That asymmetry is where the skew lives.

Ось чому DD так швидко прийняли деривативні дески з процентних ставок в еру від'ємних ставок. Їм не потрібне було нове програмне забезпечення. Вони додали зсув до вхідних даних і зберегли всю свою інфраструктуру Блека-Шоулза. Зсув зазвичай калібрувався раз на день за ATM волатильністю та однією додатковою точкою.

Греки також зсуваються. Дельта — це дельта BS зсунутого опціону. Гамма — це гамма BS. Вега — це вега BS. Єдина тонкість: потрібно перерахувати чутливості назад в оригінальні (незсунуті) координати при обчисленні хеджів.

Розділ 4

Зв'язок із CEV і SABR

Зміщена дифузія — це лінеаризована версія моделі CEV. SABR з β = 1 і параметром зсуву — це приблизно зміщена дифузія. Розуміння цього зв'язку точно показує, де DD стоїть в ієрархії моделей.

CEV (стала еластичність дисперсії) використовує dS = σ·Sᵝ·dW де β є еластичністю. Коли β = 1, це BS. Коли β < 1, волатильність вища при низькому S і нижча при високому S — така сама якісна поведінка, як у DD.

Зв'язок: розклад Тейлора першого порядку Sᵝ навколо S = F дає приблизно (S + d) для певного d, яке залежить від β і F. Отже, DD є лінеаризованим наближенням CEV навколо форварда. Вони створюють майже ідентичні усмішки біля ATM і розходяться в далеких крилах.

Зміщена дифузія vs CEV

β0.50

d25

Зміщена дифузія (суцільна лінія)

CEV (пунктир) — узгоджено на ATM

Зверніть увагу, як дві криві збігаються біля ATM, але розходяться на краях. DD дає усмішку, майже лінійну за страйком. CEV дає кривизну, бо степеневий каркас згинається. Для більшості практичних цілей у межах кількох страйків від ATM вони взаємозамінні.

Зв'язок із SABR: Модель SABR з β = 1 — це логнормальний SABR. Додавання зсуву до форварда (зсунутий SABR) дає SABR(β = 1) на зміщеній змінній. У границі нульової волатильності волатильності (ν = 0) це точно вироджується у зміщену дифузію. Отже, DD — вироджений випадок зсунутого SABR, найпростіший член цієї родини.

Ось чому DD називають найпростішим способом додати скью до BS. Ви отримуєте один додатковий параметр, один напрямок нахилу і повну сумісність з наявною інфраструктурою BS. Якщо потрібні кривизна, краї або стохастична динаміка — переходите до CEV, SABR або Heston.

Розділ 5

Коли цього достатньо

DD — однопараметричне розширення моделі Блека-Шоулза. Це водночас і його сила, і його обмеження. Знайте, коли його використовувати, а коли рухатися далі.

Використовуйте DD, коли:

1. Вам потрібне швидке коригування скью, а не повна модель. Котирування приблизного скью для розмови на деску, перевірка складнішої моделі на адекватність або оцінка портфеля ванільних опціонів, де нахил важить більше, ніж краї.

2. Ваш базовий актив може впасти до нуля або в мінус (ставки, спреди). Зміщення тримає зсунуту змінну додатною навіть коли оригінальна перетинає нуль. Це канонічний випадок використання — деривативні дески з процентних ставок в еру від'ємних ставок жили на зсунутій логнормалі.

3. Ви хочете зберегти наявну інфраструктуру BS недоторканою. Жодних нових чисельних методів, ні Монте-Карло, ні інверсії Фур'є. Просто зсуньте вхідні дані.

Виходьте за межі DD, коли:

1. Вам потрібна кривизна усмішки. DD дає майже лінійний скью. Реальні ринки мають U-подібні усмішки з опуклістю на обох краях. DD не може цього відтворити.

2. Вам потрібна динамічна поведінка усмішки. DD — статична модель, зміщення фіксоване. Вона нічого не каже про те, як рухається усмішка, коли рухається спот. Для динамічного хеджування потрібні SABR, Heston або SLV.

3. Ви оцінюєте екзотичні опціони. Опціони, залежні від траєкторії, потребують моделі, що описує динаміку волатильності, а не лише знімок. У DD немає динаміки волатильності.

Для криптовалют DD надто проста. Криптоусмішки круті, викривлені й динамічні. DD може дати грубий перший нахил, але будь-яка продакшн-поверхня використовуватиме SVI, SABR або складнішу модель.

Ширша картина

Уявіть ієрархію моделей як драбину: Блек-Шоулз (плоска усмішка) → зміщена дифузія (нахилена усмішка) → CEV/SABR (викривлена усмішка з динамікою) → Heston/SLV (стохастична волатильність з багатою структурою). Кожен крок додає складності, але й пояснювальної сили. DD — перший щабель над BS. Її варто знати, навіть якщо ви ніколи не використовуватимете її в продакшні, бо вона вчить, що скью — це фундаментально про те, як волатильність масштабується з рівнем базового активу.

Куди рухатися далі:

Модель CEV — нелінійний родич DD з викривленими усмішками

Модель SABR — стохастична волатильність поверх каркаса, продакшн-стандарт

Параметризація SVI — пряме підганяння усмішки, стандарт для криптовалют