Зміщена дифузія

Зміщена дифузія (також відома як модель зсунутого логнормального розподілу) бере Блека-Шоулза та зсуває цінову вісь. Замість того щоб моделювати форвардну ціну $F$ безпосередньо, ви моделюєте $F + d$ як логнормальну величину, де $d$ — це зміщення. Це створює скью без жодної стохастичної волатильності — лише зсув координат.

💡

Зсув координат створює скью

Від'ємне зміщення дозволяє базовому активу опускатися нижче нуля (корисно для ставок). Додатне зміщення зсуває усмішку праворуч. Зсув порушує симетрію Блека-Шоулза та створює скью. Рівень ATM залишається незмінним; опціони OTM переоцінюються.

Дослідіть параметри

Пересуньте повзунок зміщення, щоб побачити, як зсув цінової осі створює асиметрію. Повзунок волатильності контролює загальний рівень. Пунктирна синя лінія показує випадок без зсуву (Блек-Шоулз).

Дослідник зміщеної дифузії

Нульове зміщення. Чистий логнормальний розподіл — плоска усмішка, без скью.

Рівень волатильності40%

Базова волатильність зміщеного процесу

Зміщення (d)0

Від'ємне = допускає від'ємні ціни, Додатне = зміщення вправо

Пересуньте повзунок зміщення, щоб побачити, як зсув цінової осі створює скью. Пунктирна синя лінія показує незміщену усмішку для порівняння.

Що робить кожен параметр

• sigma (рівень волатильності): Імпліцитна волатильність, що застосовується до зсунутого форварда. Вища sigma = все коштує дорожче.
• зміщення (d): Наскільки далеко ви зсуваєте цінову вісь. Від'ємне d створює пут-скью (волатильність зростає, коли ціна падає). Додатне d створює м'який колл-скью. Нульове зміщення — це стандартний Блек-Шоулз.

Сильні сторони та обмеження

Сильна сторона

Що це означає для вас

Обробляє від’ємні значення

З від’ємним зміщенням модель допускає від’ємні ціни базового активу. Це було критично важливо, коли процентні ставки стали від’ємними.

Ціноутворення в замкненій формі

Це буквально Блек-Шоулз зі зсунутими вхідними даними. Кожна формула BS, кожен грек — усі вони переносяться точно.

Два параметри

Рівень волатильності та зміщення. Просто калібрувати, важко перенавчити.

Обмеження

Що це означає для вас

Немає кривизни усмішки

Як і CEV, зміщена дифузія створює скью (нахил), але не усмішку (кривизну). Вона не може підігнатися під ринкову усмішку, що вигинається вгору на обох крилах.

Тільки лінійний скью

Скью, який вона створює, є майже лінійним по страйках. Реальний ринковий скью має кривизну, особливо для короткострокових опціонів.

Зміщення є довільним

Немає економічної причини для конкретного значення зміщення. Це ручка підгонки, а не модельне розуміння.

💡

Найшвидший шлях від Блека-Шоулза до скью

Зміщена дифузія — це найшвидший спосіб додати скью до Блека-Шоулза. Хороша відправна точка, але реальні ринки потребують більше параметрів. Для правильного хеджування дельти та веги по всій часовій структурі вам потрібна більш багата модель.

Дослідник рівнянь

Конвертуйте між імпліцитною волатильністю, повною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Що робить від'ємне зміщення з усмішкою волатильності?

Q: Чому зміщена дифузія була популярною на ринках ставок близько 2014-2016 років?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Формування математичної інтуїції

Вивчіть зміщену дифузію з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок пояснює трюк зі зсунутою віссю простою мовою, показує, як параметр зміщення змінює усмішку, та пов'язує модель з інтуїцією Блека-Шоулза.

---

Дивіться також:

• Модель CEV — Ще одна проста модель скью (степеневий хребет)
• Модель SABR — Повна модель стохастичної волатильності (хребет CEV + волатильність волатильності)
• Скью — Чому усмішка нахиляється
• Методи інтерполяції — Порівняння всіх моделей усмішки