CEV з нуля

1/5

Розділ 1

Один параметр контролює весь backbone

CEV — це, ймовірно, найпростіша модель, яка створює скью. Один показник степеня — β — визначає, як коефіцієнт дифузії масштабується залежно від рівня спота. У цьому весь трюк.

У моделі Black-Scholes SDE спота має вигляд dS = σ·S·dW. Шумовий доданок пропорційний S, тому відсоткова волатильність є сталою. CEV узагальнює це до:

Динаміка CEV

dS = σ·S·^β·dW

β = 1: ви отримуєте Black-Scholes (логнормальну). Відсоткова волатильність стала.
β = 0: ви отримуєте модель Bachelier / нормальну. Дифузія дорівнює σ·dW — адитивний шум, взагалі без залежності від ціни.
0 < β < 1: щось середнє. Дифузія зростає разом із S, але повільніше, ніж пропорційно.

Ментальна модель

Уявіть β як регулятор на мікшерному пульті. Повністю праворуч (β = 1) ви отримуєте логнормальний світ — сталі відсоткові коливання. Повністю ліворуч (β = 0) ви отримуєте нормальний світ — сталі доларові коливання. Усе, що між ними, є сумішшю. Модель не переймається стрибками, режимами чи стохастичною волатильністю. Вона лише запитує: як розмір випадкового шоку залежить від рівня ціни?

Відсоткова волатильність за CEV дорівнює σ·S^β−1. Коли β < 1, показник степеня від'ємний, тому відсоткова волатильність зростає, коли S падає. Це ефект левериджу, і саме він є повним двигуном скью в CEV. Жодних додаткових параметрів, жодних додаткових джерел шуму. Лише показник степеня.

β Спектр

Black-Scholes / логнормальна

β = 1.0

dF = σ · F · dW

Дифузія пропорційна F. Це звичайний геометричний броунівський рух. Відсоткова волатильність стала. Усмішка імпліцитної волатильності плоска — скью повністю відсутній.

Розділ 2

β < 1 означає, що волатильність зростає, коли спот падає

Це ефект левериджу. На ринках акцій і криптовалют волатильність послідовно зростає, коли спот падає. CEV з β < 1 відтворює це механічно, без потреби у другому стохастичному факторі.

Якщо β = 0.5, функція локальної волатильності дорівнює σ·√S. Коли S падає зі 100 до 50, локальна волатильність не знижується пропорційно — вона знижується лише на √(50/100) ≈ 0.71. Але спот впав удвічі. Відсоткова волатильність насправді зростає.

Цей ефект автоматичний і детермінований. Немає параметра кореляції для налаштування, немає другого броунівського руху. Зв'язок ціна-волатильність вбудований у єдиний показник степеня β.

Це створює від'ємний скью в імпліцитній волатильності без жодних додаткових параметрів. Коли ринок падає, волатильність механічно зростає, тому OTM пут-опціони стають ціннішими. Пут-крило усмішки піднімається.

Симулятор ефекту левериджу

Цінові траєкторії CEV

Реалізована вол. vs рівень ціни

β0.50

β = 0.50 — Помірний ефект левериджу

Симулятор вище показує це наочно. Ліва панель: цінові шляхи CEV. Коли β < 1, шляхи, що падають, стають помітно більш шумними — ширші коливання на нижчих рівнях. Права панель: віконна реалізована волатильність, побудована відносно рівня ціни. Від'ємний нахил — це ефект левериджу.

Встановіть β = 1, і діаграма розсіювання вирівнюється. Немає залежності ціна-волатильність. Це світ Black-Scholes.

Встановіть β > 1 і зв'язок інвертується: волатильність зростає разом із ціною. На практиці це незвично, але це показує вам повний діапазон моделі.

Чому це важливо для трейдерів

Ефект левериджу — це не просто модельна цікавинка. Він спостерігається в реалізованих даних для акцій, кредиту та крипто. Коли ринки розпродаються, реалізована волатильність стрибає. CEV каже, що це не тому, що волатильність має власний випадковий процес, — це тому, що коефіцієнт дифузії механічно залежить від рівня ціни. Це найдешевше можливе пояснення скью.

Розділ 3

Усмішка імпліцитної волатильності з CEV

CEV створює специфічну форму імпліцитної волатильності, яка повністю контролюється β. Ця форма — нахил, а не U. CEV може створити скью, але не може створити симетричну усмішку.

Відповідність проста:

β = 1: Плоска усмішка. Немає скью, немає кривизни. Це Black-Scholes.

β < 1: Від'ємний скью. Пут-крило підняте, колл-крило опущене. Чим далі β нижче 1, тим крутіший скью.

β > 1: Додатний скью. Колл-крило зростає, пут-крило падає. Рідкість на ринках акцій/криптовалют, але можливе на деяких товарних ринках.

Що критично, усмішка від CEV є монотонною. Вона нахиляється в той чи інший бік, але не має U-подібної форми. Немає механізму, щоб обидва крила піднімалися одночасно, оскільки немає волатильності волатильності або стохастичної дисперсії, щоб згенерувати симетричне збагачення крил.

β Дослідник Backbone

Функція локальної вол

Отриманий smile

β0.50

Режим: Суб-логнормальний (негативний скью)

ATM IV3.0%

Пут-скью 90/100+0.1%

β0.50

Нахил локальної волЗворотний

Дослідник вище показує обидві частини: функцію локальної волатильності σ·S^β ліворуч, а праворуч — отриману усмішку імпліцитної волатильності. Перетягніть β і спостерігайте, як вони рухаються разом. Нахил локальної волатильності напряму визначає нахил усмішки.

При β = 1 функція локальної волатильності є прямою лінією через початок координат (пропорційна S). Усмішка плоска. Коли β опускається нижче 1, функція локальної волатильності вигинається вниз при високих S — це означає, що процес стає менш волатильним при вищих цінах. Усмішка нахиляється ліворуч.

Наближена імпліцитна волатильність

σ_impl(K) ≈ σ·F^β−1 · [1 − ½(1−β) · ln(K/F) + ...]

Провідний член скью — це −½(1−β). Коли β < 1, це від'ємне: нижчі страйки отримують вищу імпліцитну волатильність. Розклад показує, що крутизна скью є лінійною за (1−β).

Розділ 4

CEV як backbone SABR

SABR’s forward equation is dF = σ·F^β·dW₁. Це буквально є процесом CEV. SABR просто додає друге SDE для самого параметра волатильності.

Повна система SABR:

Система SABR

dF = σ·F^β·dW₁

dσ = ν·σ·dW₂

corr(dW₁, dW₂) = ρ

Перший рядок: основа CEV. Той самий β показник, та сама механіка.
Другий рядок: σ тепер є стохастичною. ν (vol-of-vol) контролює, наскільки σ блукає. Коли ν = 0, σ є константою, і ви повертаєтеся до чистого CEV.
Третій рядок: два броунівські рухи корельовані. ρ додає додатковий нахил поверх того, що β вже забезпечує.

Отже, CEV є детермінованою основою SABR. Показник β контролює форму хребта усмішки. SABR потім додає стохастичну волатильність поверх: ν генерує кривизну (збагачення крил), а ρ додає додатковий спрямований нахил.

На практиці дески за ставками часто фіксують β на конвенційному значенні (0.5 для ставок, іноді 0 або 1 залежно від режиму), а потім калібрують σ, ν, ρ до спостережуваної усмішки. Хребет обирається один раз; стохастичне накладення підганяється щодня.

Усмішка: CEV vs SABR

β (спільний)0.50

ν (SABR)0.40

ρ (SABR)-0.30

CEV (суцільна) — лише бекбон, один параметр

SABR (пунктирна) — додає кривизну від волатильності волатильності

CEV правильно передає нахил, але не може створити кривизну. Параметр ν (волатильність волатильності) у SABR піднімає обидва крила, формуючи U-подібну форму. Встановіть ν = 0 — і криві збігаються: SABR зводиться до CEV.

Порівняння вище робить це наочним. Суцільна зелена крива — це лише CEV — монотонний нахил. Пунктирна синя крива — це SABR з тим самим β але ненульовим ν. SABR додає кривизну, яку CEV не може створити.

Встановіть ν = 0 у повзунку і спостерігайте, як криві ідеально накладаються. Це підтверджує зв'язок: SABR з нульовим vol-of-vol — це точно CEV. Хребет спільний.

Інсайт калібрування

Коли ви калібруєте SABR, вибір β не є безневинним. Він визначає, яка частина спостережуваного скью приписується хребту (залежна від ціни волатильність) проти стохастичного накладення (ρ нахил). Різні вибори β призводять до різних ρ підходить, що впливає на форвардну динаміку і, отже, на поведінку хеджування. Розуміння CEV окремо допомагає вам зрозуміти, що β насправді робить всередині SABR.

Розділ 5

Обмеження та застосування

CEV занадто простий для підгонки реальних усмішок. Але це правильна ментальна модель для розуміння того, як працює залежна від ціни волатильність, і він з’являється всередині кожного калібрування SABR.

Чого CEV не може:

Немає кривизни. Реальні усмішки мають і нахил, і кривизну — пут-крила круті, колл-крила підняті. CEV дає монотонний нахил, але без U-форми. Якщо ви спробуєте підігнати реальну крипто-усмішку лише за допомогою CEV, ви повністю проґавите крила.

Немає динаміки часової структури. CEV не має повернення до середнього, немає кластеризації волатильності, немає змін режимів. Функція локальної волатильності статична. Короткострокові та довгострокові усмішки мають однакову форму, що суперечить спостережуваній поведінці часової структури.

Поглинання в нулі. Для β < 1, процес може досягти нуля і бути поглинутим. Це технічний головний біль для ціноутворення і вимагає спеціальних граничних умов.

Для чого CEV корисний:

Навчання ефекту левериджу. Якщо вам потрібна одна модель, щоб пояснити, чому волатильність зростає, коли спот падає, CEV — саме вона. Один параметр, один механізм, чиста інтуїція.

Вибір backbone для SABR. При калібруванні SABR ви обираєте β першим. Розуміння того, що CEV робить окремо, підказує вам, що ви приписуєте бекбону, а що — стохастичному накладенню.

Швидкі наближення скью. Розкладання імпліцитної волатильності CEV дає вам аналітичний зв'язок між β і крутизною скью. Якщо хтось називає вам число скью, ви можете подумки вивести імпліцитний β в голові.

Дебати нормальна проти логнормальна. На ринках процентних ставок вибір між нормальною (β = 0) і логнормальною (β = 1) конвенціями котирування є актуальною дискусією. CEV робить це неперервним спектром, а не бінарним вибором.

Один рядок для запам’ятовування

CEV каже: розмір випадкового шоку залежить від рівня ціни, а β контролює те, як. Усе інше — скью, ефект левериджу, бекбон SABR — випливає з цієї єдиної ідеї.

Куди рухатися далі:

Модель SABR — розширення стохастичної волатильності, яке використовує CEV як свій backbone

Параметризація SVI — пряма підгонка усмішки для продакшн-поверхонь

Модель Heston — інший підхід стохастичної волатильності з поверненням дисперсії до середнього

Методи інтерполяції — усі методи в порівнянні