Black-Scholes з нуля

1/7

Розділ 1

Що таке колл-опціон?

Колл-опціон — це вибір: ви можете купити пізніше за фіксованою ціною K або відмовитися. Ця одна деталь створює всю форму виплати.

Якщо актив завершується нижче страйку, ви ігноруєте опціон. Якщо вище — ви купуєте за дешевшою фіксованою ціною і кладете різницю в кишеню.

Спот на експірацію$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — купівля за $100, продаж за $115

Перетягніть повзунок. Нижче K виплата дорівнює нулю — ви ніколи не виконуватимете опціон. Вище K виплата зростає долар за доларом. Цей злам у точці K — вся причина існування опціонів.

Аналогія

Уявіть, що ви платите невеликий бронювальний внесок за квиток на концерт. Якщо ціни перепродажу вибухнуть, ваша бронь цінна. Якщо ціни залишаться низькими, ви відмовляєтеся. Премія опціону — це той бронювальний внесок.

Розділ 2

П’ять вхідних параметрів

Перш ніж писати формулу, зробіть кожен символ нудним. Якщо символи залишаються загадковими, уся модель залишається загадковою.

Рухайте кожен повзунок нижче і спостерігайте, як реагує ціна колла. Кожен параметр має напрямок, у який він штовхає. Відчуйте це, перш ніж ми назвемо формулу.

SСпот-ціна$100

Де актив перебуває зараз.

KЦіна виконання$100

Ціна, за якою ви зможете купити пізніше.

TЧас до експірації1.00 yr

Як довго опціон залишається чинним.

rБезризикова ставка5.0%

Скільки заробляють гроші, поки ви чекаєте.

σВолатильність20%

Наскільки широким видається майбутній діапазон цін.

Ціна колла

$11.91

Пут: $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

Підсумок одним реченням: Black-Scholes оцінює право, вартість якого залежить від того, де актив зараз (S), де ви можете купити (K), скільки часу у вас є (T), наскільки широким може бути майбутнє (σ) і скільки коштує очікування (r).

Розділ 3

Дві великі частини

Більшість людей спершу знайомляться з фінальною формулою. Це навпаки. Спершу вивчіть історію, а потім накладіть символи зверху.

Клацніть по трьох шарах нижче. Спостерігайте, як англійська перетворюється на математику.

Ідея

ціна колла = потенціал зростання як в активу − вартість купівлі пізніше

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

Наведіть курсор на будь-яку частину формули, щоб побачити її значення.

Перша частина — це скільки подібного до активу потенціалу зростання ви отримуєте. Друга частина — це те, що ви за це заборгуєте, дисконтоване до сьогодні. Різниця — це вартість опціону.

N(d₁) і N(d₂) — це ваги між 0 і 1. Вони походять з нормального розподілу. Ми розберемо їх далі.

Розділ 4

Що таке d₁ і d₂?

Частина, яка лякає більшість людей. Вони не містичні. Це оцінювальні картки — вимірюють, наскільки сприятлива конфігурація опціону, в одиницях волатильності за одне життя опціону.

N(d) — це площа під дзвоноподібною кривою ліворуч від d. Перетягніть повзунок і спостерігайте, як змінюється заштрихована площа — вага.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

Розбираємо d₁:

чисельник d₁

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — ми вище чи нижче страйку, у логарифмічній шкалі?
(r + σ²/2)T — корекція на дрейф і волатильність за час життя опціону.

знаменник d₁

σ√T

Одне життя опціону у волатильності. Це лінійка, якою ви все вимірюєте. Чисельник каже, наскільки сприятлива конфігурація; знаменник виражає це в одиницях «коливань».

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

Та сама оцінювальна картка, мінус одне повне життя волатильності. N(d₁) зважує частину, подібну до активу. N(d₂) зважує частину виплати за страйком.

Розділ 5

Розберіть повний приклад

Числа роблять це реальним. Почніть із зручних значень за замовчуванням, потім змінюйте параметри і спостерігайте, як оновлюється кожен проміжний крок.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

Точно на страйку — без вбудованої переваги монейності.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

Дрейф + корекція на волатильність за час життя опціону.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

Одне життя волатильності — мірна лінійка.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

Ця конфігурація — 0.35 коливань у сприятливому напрямку.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

Той самий показник, мінус одне життя волатильності.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

Дві ваги з нормального розподілу.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01 потенційного прибутку мінус $55.10 дисконтованої вартості.

C = $11.91

Ціна колл-опціону за Black-Scholes.

Розділ 6

Чому саме ця ціна, а не інша

Black-Scholes — це не здогадка. Її основа — реплікація: якщо ви можете скопіювати опціон за допомогою активу і готівки, опціон і копія мають коштувати однаково.

Спростимо до одного періоду. Актив іде до $120 або $80. Колл з K = 100 виплачує $20 або $0. Чи можемо ми побудувати портфель з активу і готівки, який точно відповідає цим виплатам?

Реплікуючий портфель

120Δ + B = 20Відтворіть виплату у стані зростання

80Δ + B = 0Відтворіть виплату у стані падіння

Δ = 0.5, B = −40Пів акції, позичити $40

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10Опціон також має коштувати $10 — інакше є арбітраж

Копія коштує $10. Опціон також має коштувати $10 — інакше хтось купить дешевий, продасть дорогий і заробить безризиковий прибуток. Ось чому модель дисциплінована арбітражем, а не відчуттями.

Black-Scholes — це плавна версія цього аргументу копіювання у неперервному часі — застосована нескінченно багато разів, коли ціна активу безперервно змінюється.

Розділ 7

Напишіть з пам’яті

Торкніться кожної картки, щоб перевірити себе. Якщо ви можете заповнити всі чотири, ви знаєте формулу досконало.

Швидка перевірка пам’яті — торкніться, щоб побачити відповіді:

Куди рухатися далі:

Імпліцитна волатильність — використання моделі у зворотному напрямку від ціни

Довідник з греків — зв’язок ціни з чутливостями хеджу

Пут-колл паритет — наступна цінова тотожність, яку варто вивчити досконало