Статична реплікація з нуля

1/5

Розділ 1

Будь-яка виплата — це сума простіших виплат

Кожна складна діаграма виплат, яку ви коли-небудь бачили, — це просто портфель із простіших частин. Колли, пути, форварди. Форма, яку ви бачите, — це сума їхніх окремих ліній виплат.

Метелик — це три колли. Стредл — це колл плюс пут. Колар — це базовий актив плюс пут мінус колл. Жодна з цих стратегій не є екзотичною. Це просто лінійні комбінації ванільних опціонів.

Оберіть форму виплати нижче, потім натисніть Розкласти, щоб побачити складові частини, які в сумі дають зелену криву. Пунктирні лінії — це окремі ноги. У сумі вони дають суцільну зелену.

Long 90C + Long 130C + Short 2x110C

Чому це важливо

Якщо будь-яка виплата — це сума простіших виплат, то ціноутворення будь-якої виплати зводиться до ціноутворення її частин. А якщо ви можете торгувати цими частинами, ви можете реплікувати будь-яку потрібну форму без спеціального інструменту. Це і є головна обіцянка статичної реплікації.

Розділ 2

Ванільні опціони як будівельні блоки

Колл-спред — це два колли. Метелик — три. Залізний кондор — чотири. Маючи достатньо коллів і путів із правильними страйками, ви можете апроксимувати будь-яку кусково-лінійну виплату.

Кожен ванільний опціон додає один «злам» до сукупної виплати. Колл зі страйком K згинає виплату вгору при K. Пут зі страйком K згинає її вгору нижче K. Кожен злам змінює нахил на величину кількості опціону.

Побудуйте власний портфель нижче. Додайте колли та пути з різними страйками. Спостерігайте, як комбінована виплата оновлюється наживо. Спробуйте побудувати плоску виплату між 90 і 120 без нічого вище та нижче.

КоллПутKК-сть

КоллПутKК-сть

Ключовий принцип

Combined payoff = Σ q_i · payoff_i(S)

Кожна нога вносить свою кількість, помножену на її окрему виплату за будь-якої спот-ціни. Комбінована форма — це просто сума. Саме ця лінійність робить реплікацію можливою.

Розділ 3

Результат Breeden-Litzenberger

Друга похідна цін коллів за страйком дає ризик-нейтральну щільність імовірності. Ринок неявно повідомляє вам імовірність кожного можливого результату.

Breeden і Litzenberger (1978) показали, що якщо взяти сітку цін коллів за страйками та обчислити кривину в кожній точці, ви відновите функцію щільності ризик-нейтрального розподілу. Жодної моделі не потрібно. Лише ціни та арифметика.

Breeden-Litzenberger

∂²C / ∂K² = e^−rT · f(K)

f(K) — це ризик-нейтральна щільність імовірності при страйку K. Друга похідна функції ціни колла за страйком, масштабована дисконтним множником, І Є щільністю. Наведіть курсор на сітку цін нижче, щоб побачити кривину при кожному страйку.

Ціни колл-опціонів за страйками (S=100, r=5%)

K=60$40.75

K=64$36.80

K=68$32.86

K=72$28.94

K=76$25.06

K=80$21.29

K=84$17.70

K=88$14.42

K=92$11.61

K=96$9.53

K=100$8.50

K=104$6.24

K=108$4.00

K=112$2.56

K=116$1.62

K=120$1.01

K=124$0.63

K=128$0.38

K=132$0.23

K=136$0.14

K=140$0.08

Вол. (σ)30%

Час (T)0.25y

Зелена крива — це видобута щільність. Її пік показує, де, на думку ринку, базовий актив найімовірніше закриється при розрахунку. Її ширина показує, наскільки невпевнений ринок. Збільште волатильність і спостерігайте, як щільність вирівнюється та розширюється.

Це не оцінка і не результат моделі. Це пряме, безмодельне вилучення з ринкових цін. Єдине припущення — що ціни коллів двічі диференційовані за страйком, а це виконується на будь-якому безарбітражному ринку.

Розділ 4

Реплікація бінарного опціону

Бінарний колл виплачує $1 вище страйку, $0 нижче. Ви можете апроксимувати його вузьким колл-спредом: купіть колл при K, продайте колл при K+ε, і масштабуйте на 1/ε. Коли ширина спреду прямує до нуля, схил стає сходинкою.

Це фундаментальний зв'язок між ванільними та бінарними опціонами. Бінарний опціон — це границя колл-спреда, коли ширина спреду зменшується. Еквівалентно, бінарний опціон — це похідна ціни колла за страйком зі знаком мінус: D(K) = −∂C/∂K.

Перетягніть повзунок, щоб звузити спред. Спостерігайте, як синя рампа сходиться до зеленої ступінчастої функції.

Бінарний (ціль)Call spread (1/ε) × [C(K) - C(K+ε)]

Ширина спреду (ε)10.0

Широкий спред. Похила ділянка погано наближає бінарний опціон.Макс. похибка: 100.0% від номіналу

Від колл-спреда до бінарного опціону

D(K) = lim_ε→0 (1/ε) · [C(K) − C(K+ε)]

Виплата колл-спреду — це схил висотою 1/ε на ширині ε. Коли ε зменшується, схил крутішає до сходинкової функції. У межі це точно бінарний опціон. Ось чому маркетмейкери хеджують бінарні опціони вузькими ванільними спредами — обмежена дельта, без піку Дірака.

Розділ 5

Реплікація довільних виплат

Carr і Madan (1998) довели, що будь-яку двічі диференційовану європейську виплату можна розкласти на три частини: форвардну позицію, стріп путів поза грошима (OTM) нижче форварду та стріп коллів поза грошима (OTM) вище форварду.

Це формула Carr-Madan. Вона стверджує, що кривина вашої цільової виплати — друга похідна f″(K) — визначає, скільки кожного OTM опціону вам потрібно. Лінійну частину виплати покриває форвард. Кривину покривають стріпи опціонів.

Оберіть виплату нижче, потім натисніть Показати розклад Carr-Madan, щоб побачити три частини. Жовта лінія — форвардний компонент. Червона область — стріп OTM путів. Синя область — стріп OTM коллів. Разом вони в сумі дають зелену ціль.

Зверніть увагу на розділову лінію при F (форвардній ціні). Нижче F внесок роблять лише пути. Вище F — лише колли. Це не випадково: використання OTM опціонів мінімізує вартість реплікації, оскільки OTM опціони дешевші за ITM опціони при тому самому інформаційному наповненні.

Практичний наслідок

Розклад Carr-Madan — це теоретична основа свопів дисперсії, розрахунку VIX і стратегій реплікації портфеля. Формула VIX — це буквально дискретна апроксимація цього інтеграла. Щоразу, коли ви бачите «стріп опціонів», за цим стоїть саме ця математика.

Куди рухатися далі:

Бінарні опціони — будівельний блок реплікаційних драбин

Дельта-хеджування — динамічна альтернатива статичній реплікації

Імпліцитна волатильність — вилучення ринкових очікувань із цін