Bates з нуля
1/5Heston + стрибки = Bates
Heston пояснює усмішку на довгих строках: стохастична дисперсія створює плавний скью та часову структуру. Merton пояснює усмішку на коротких строках: стрибки в ціновому процесі створюють круті крила на коротких експіраціях. Bates поєднує обидва підходи в одній моделі.
Ключова проблема проста. Heston рухається неперервно — спотова ціна ніколи не телепортується. Це означає, що сам по собі Heston не може пояснити, чому 1-тижневий пут з 25-дельтою може торгуватися з волатильністю 80%, тоді як 1-річна версія — з 55%. Крутизна крил на коротких строках вимагає того, чого неперервна дифузія дати не може: миттєвих гепів.
Merton (1976) розв'язав проблему гепів, додавши пуассонівський стрибковий процес до геометричного броунівського руху. Але в Merton немає стохастичної дисперсії, тому він не може відтворити динаміку часової структури. Він добре оцінює одну експірацію, але розсипається вздовж усієї кривої.
Bates (1996) склеїв ці два підходи. Результат — робоча модель для деսків екзотичних опціонів, яким потрібні і реалістична динаміка, і практичне ціноутворення.
Другий рядок: дисперсія слідує тому самому CIR-процесу, що й Heston. Тут нічого не змінюється.
Третій рядок: та сама кореляційна структура. ρвсе ще керує плавним скью.
Уявіть авто на вибоїстій дорозі (Heston: якість дорожнього покриття змінюється стохастично). Тепер додайте ями, що з'являються випадково (стрибки Merton: авто раптово провалюється). Для вибоїн потрібна підвіска, для ям — подушки безпеки. Bates дає і те, і інше.
Ключовий математичний інсайт: оскільки стрибкова компонента незалежна від процесу дисперсії, характеристична функція Bates — це просто характеристична функція Heston, помножена на стрибковий фактор Merton. Це означає, що ціноутворення залишається напіваналітичним — обернення Фур'є все ще працює. Для ванільних опціонів Монте-Карло не потрібен.
Що роблять додаткові параметри
Bates успадковує п'ять параметрів Heston (κ, θ,σ, ρ, v₀) і додає три параметри стрибків:λ (частота стрибків), μⱼ (середній розмір стрибка), і σⱼ (волатильність стрибків). Загалом вісім регуляторів.
λ (lambda) — інтенсивність стрибків. Очікувана кількість стрибків на рік. λ = 0 відновлює чистий Heston. λ = 2 означає приблизно два стрибки на рік у середньому. Вище λ піднімає крила далі, оскільки ринок закладає більше гап-подій у ціну опціонів.
μⱼ (mu-J) — середній розмір стрибка. Середній логарифмічний дохід стрибка. Від'ємне μⱼ означає, що стрибки зміщені вниз (крашові стрибки). Це створює асиметрію: пут-крило крутішає більше, ніж колл-крило. У крипто,μⱼ зазвичай перебуває між −0.05 and−0.15, відображаючи каскади ліквідацій і флеш-краші.
σⱼ (sigma-J) — волатильність стрибків. Стандартне відхилення розмірів стрибків. Навіть якщо середній стрибок дорівнює нулю, ненульове σⱼ створює симетричний підйом крил. Це чистий надлишковий ексцес від стрибків випадкового розміру. Більшеσⱼ означає товстіші хвости.
Увімкніть і вимкніть стрибки вище. Коли стрибки вимкнені, ви бачите чистий Heston (пунктирний синій). Увімкніть їх, і крила піднімаються -- особливо ліве крило, тому що μⱼ < 0 зміщує стрибки вниз. Підніміть λ до 3 або 4, і ефект стає драматичним. Встановіть μⱼ = 0 і зверніть увагу, що підйом стає симетричним.
Ключове розуміння: ρ (Heston) і μⱼ(стрибки) обидва створюють скью, але через абсолютно різні механізми.ρ створює скью через кореляцію спот-волатильність, яка нарощується поступово з часом. μⱼ створює скью через спрямовані стрибки, які з'являються миттєво. Ось чому Bates може одночасно підлаштовуватися як під короткий, так і під довгий кінець.
Декомпозиція часової структури
Усмішка на коротких строках — це здебільшого стрибки. Усмішка на довгих строках — здебільшого стохастична волатильність. Саме через це розділення існує Bates: жодна з компонент окремо не підганяє повну часову структуру.
Механізм полягає в масштабуванні дисперсії. Дифузійна дисперсія накопичується пропорційно до T: протягом року дифузійна складова має час нарости. Дисперсія стрибків також масштабується з T (λ · T очікуваних стрибків), але кожен окремий стрибок має однаковий розмір незалежно від горизонту.
При T = 7 днів у вас ледь був час для накопичення дифузійної дисперсії, але один стрибок все ще може вдарити вас у повному розмірі. Один −10% обвал за тиждень має такий самий вплив на виплату, як і−10% обвал за рік -- але обвал становить набагато більшу частку від загального очікуваного руху за 7 днів, ніж за 365 днів.
При T = 1 рік стохастична волатильність встигає дослідити повний розподіл траєкторій дисперсії. Повернення до середнього, кластеризація волатильності та кореляція спот-вол — усе це проявляється. Стрибкова компонента нікуди не зникає, але становить меншу частку загальної дисперсії.
Подивіться на чотири графіки вище. При T = 7d червона область (внесок стрибків) домінує на крилах. При T = 1y це тонка смужка. Збільшіть λ і спостерігайте, як точка перетину зсувається -- частіші стрибки виштовхують внесок стрибків далі вздовж кривої.
Ця декомпозиція має прямі торгові наслідки. Якщо ви вважаєте, що ризик стрибків оцінено неправильно, торгуйте короткий кінець кривої. Якщо вважаєте, що неправильно оцінена динаміка дисперсії, торгуйте довгий кінець. Bates дає вам фреймворк для розділення цих ставок.
Калібрування моделі Bates
Вісім параметрів — це багато. Різні комбінації можуть давати схожі усмішки, і оптимізатор може забрести на нестабільну територію. Практичне калібрування вимагає дисципліни.
Стандартний підхід — двоетапна стратегія:
Етап 1: зафіксуйте те, що можна спостерігати. v₀ закріплюється з поточної ATM імпліцитної дисперсії. Ставка дрейфу r відома. Залишається сім вільних параметрів.
Етап 2: калібруйте групами. Спершу підлаштуйте κ, θ, σ, ρ під довгострокову посмішку (де стрибки роблять малий внесок). Потім підлаштуйтеλ, μⱼ, σⱼ під короткострокові залишки. Повторіть кілька разів для уточнення.
Цей підхід працює, бо дві групи параметрів контролюють різні частини поверхні. Параметри Heston формують дальній кінець; стрибкові параметри — ближній. Послідовне підганяння зменшує розмірність кожного кроку оптимізації.
Пастка перепідгонки. Більша кількість параметрів завжди покращує внутрішньовибіркове підлаштування. Але якщо ви дозволите всім восьми вільно змінюватися, ви ризикуєте підлаштуватися під шум. Показовий знак: параметри, які різко змінюються день у день, водночас створюючи схожі посмішки. Якщо λ коливається між 0.5 і 3.0 у послідовних калібруваннях, ваше підлаштування нестабільне.
Графік вище показує реалістичне порівняння. Heston (помаранчевий, 5 параметрів) добре підганяє область ATM, але систематично промахується на путах глибоко поза грошима (OTM). Bates (зелений, 8 параметрів) влучно передає крила, бо стрибкова компонента вловлює крутий скью на коротких строках, недосяжний для Heston.
Подивіться на графік залишків під основним графіком. Залишки Heston великі й систематичні на крилах — модель зміщена, а не просто зашумлена. Залишки Bates менші й більш випадкові. Це ознака справжнього покращення, а не просто перепідгонки.
Емпіричне правило: якщо додавання 3 параметрів зменшує SSE більш ніж на 50%, додаткова складність себе виправдовує. Якщо зменшення лише 10-20%, можливо, краще залишитися з Heston і прийняти похибку на крилах.
Робоча конячка крипторинку
Bates — стандартна модель для криптодесків екзотичних опціонів, бо крипторинки демонструють і стохастичну волатильність, і часті стрибки. Каскади ліквідацій, депеги та збої бірж створюють реальний ризик гепів, який сам по собі Heston оцінити не може.
Поверхні волатильності криптоактивів мають характерні особливості, з якими Bates добре справляється:
Стійкі режими волатильності. BTC може залишатися на 30% IV тижнями, потім різко стрибнути до 80% на одному каскаді ліквідацій. Низькаκ (повільне повернення до середнього) у поєднанні з високою v₀охоплює середовище після шоку. Це компонент Heston виконує свою роботу.
Часті гепові рухи. 10% внутрішньоденний обвал нечастий на ринках акцій, але трапляється кілька разів на рік у крипто. Це справжні стрибки, а не просто великі дифузійні рухи. Вони проявляються як надзвичайно круті короткострокові пут-крила, які жодна кількістьσ (волатильність волатильності) не може відтворити. Компонент стрибків справляється з цим.
Обидва напрямки. На відміну від ринків акцій, де стрибки майже завжди спрямовані вниз, крипто також має значний ризик гепу вгору (шорт-сквізи, несподівані схвалення ETF, лістинги на біржах). Встановленняμⱼ ближче до нуля (або навіть трохи додатне для деяких монет) дозволяє моделі охопити симетричний ризик гепу.
Декомпозиція дисперсії вище показує, як загальна дисперсія ATM розділяється між дифузійною та стрибковою компонентами. За типових криптопараметрів стрибки можуть становити 20-40% загальної дисперсії. Це не поправка — це ефект першого порядку.
За межами Bates: SLV. Bates підлаштовується під спостережувану поверхню краще, ніж Heston, але все одно не може точно підлаштуватися під кожен страйк і експірацію. Для виробничого ціноутворення екзотики більшість деск накладає локальну волатильність зверху, створюючи стохастично-локальну модель волатильності (SLV). Bates забезпечує рушій динаміки; локальна волатильність забезпечує точне калібрування. Дивіться довідник SLV для деталей.
Коли Bates — це надлишок: якщо вам потрібно лише інтерполювати одну посмішку для однієї експірації, використовуйте SVI. Якщо вам потрібна повна поверхня без динаміки, SSVI швидша і стабільніша. Bates виправдовує свою складність, коли вам потрібна динаміка базового активу -- для ціноутворення екзотики, хеджування шляхозалежних продуктів або розкладання посмішки на економічні компоненти.
Black-Scholes: без усмішки. Одна волатильність не підганяє нічого.
Heston: плавна динаміка усмішки. Обробляє довгий кінець.
Bates: плавність + стрибки. Обробляє обидва кінці.
SLV: точне калібрування + динаміка. Продакшн-стандарт.
Кожен крок додає складності та вартості калібрування. Мистецтво полягає в розумінні, коли додаткова машинерія варта накладних витрат для вашого конкретного випадку.
Куди рухатися далі:
Heston з нуля — глибоке занурення у п'ять параметрів Heston
Параметризація SVI — стандарт підгонки усмішки для криптоповерхонь волатильності
SSVI — безарбітражна параметризація повної поверхні
Методи інтерполяції — порівняння всіх методів