Вивчіть модель Башельє з нуля

Башельє з нуля

1/5

Розділ 1

Долари, а не відсотки

Блек-Шоулз каже: «рух на 10%». Башельє каже: «рух на $10». У цьому вся філософська різниця між двома найстарішими моделями ціноутворення опціонів.

Луї Башельє опублікував свою модель у 1900 році — за 73 роки до Блека і Шоулза. Його ідея була гранично проста: зміни ціни адитивні та нормально розподілені. Модель — одне рівняння:

Динаміка Башельє

dS = σ_n · dW

σ_n — це нормальна волатильність, вимірювана в доларах (або базисних пунктах) на корінь з року — не у відсотках. dW — це стандартний броунівський приріст.

Якщо нормальна волатильність дорівнює $20, модель передбачає, що ціна може змінитися приблизно на $20 за рік. Незалежно від того, чи стартує ціна з $40 або з $400, коливання має той самий розмір у доларах. Саме це означає «адитивність» — шум не масштабується разом із рівнем ціни.

Порівняйте це з Black-Scholes, де шум є мультиплікативним: dS = S·σ·dW. Та сама волатильність 30% дає рух $30 на активі вартістю $100, але рух $150 на активі вартістю $500. Лінійка розтягується.

Метафора лінійки: фіксовані поділки vs еластичні поділки

Рівень ціни$100

Bachelier: $10 — це $10 усюдиBS: 10% розтягується разом із ціною

Пересуньте повзунок ціни. Лінійка Башельє зберігає поділки з фіксованими доларовими інтервалами. Лінійка BS розтягується або стискається, бо кожна поділка — це фіксований відсоток від поточної ціни.

Чому це важливо

Адитивна модель може давати від'ємні ціни. Це баг, якщо ви оцінюєте опціони на акції. Але це перевага для процентних ставок (які ставали від'ємними в EUR, JPY, CHF) і для спредів (які природно мають знак). Башельє випередив свій час на 73 роки — його «дефект» став галузевим стандартом для опціонів на ставки.

Розділ 2

Формула простіша, ніж ви думаєте

Ціна колла за Башельє має менше складових, ніж Блек-Шоулз. Жодних логарифмів. Жодної драми з фактором дисконтування. Лише віднімання, відношення та два звернення до нормального розподілу.

Ціна колла за Башельє

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n√T · φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Φ — це нормальна CDF (ймовірність бути нижче значення). φ — це нормальна PDF (висота дзвоноподібної кривої). d вимірює, на скільки стандартних відхилень спот вище страйку — та сама концепція, що й d₁ у BS, але у доларових термінах замість логарифмічних.

Розбийте формулу на дві частини — і її легко запам'ятати:

Piece 1: (S − K)·Φ(d) — внутрішня виплата, зважена за ймовірністю. Якщо колл завершується у грошах, ви отримуєте S − K. Φ(d) — це ймовірність того, що це станеться.

Piece 2: σ_n√T·φ(d) — часова подушка вартості. Навіть якщо спот близько до страйку, невизначеність дає опціону шанс. Більше волатильності або більше часу збільшує цей член.

Порівняйте з Black-Scholes: C = S·Φ(d₁) − K·e^−rT·Φ(d₂). BS використовує ln(S/K), тоді як Bachelier використовує S−K. Цей логарифм — уся різниця. Поблизу ATM вони збігаються.

Bachelier проти Black-Scholes: порівняння поряд

Bachelier (нормальна модель)

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n·√T·φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Black-Scholes (логнормальна модель)

C = S·Φ(d₁) − K·Φ(d₂)

d₁ = (ln(S/K) + ½σ²T) / (σ·√T)

Спот (S)

$100

Страйк (K)

$105

Час (T, роки)

0.25

Нормальна волатильність (σ_n, $/рік)

$20

Ціна за Bachelier

$2.16

d = -0.500

Ціна BS (σ_BS ≈ σ_n/S)

$2.37

σ_BS = 20.0%

Difference: $0.21 (9.7%) -- away from ATM, they diverge

Відсуньте страйк від споту й спостерігайте, як дві ціни розходяться. Поблизу ATM вони майже ідентичні, бо лінійне та логарифмічне наближення локально збігаються. Далеко OTM моделі розходяться, бо Башельє допускає від'ємні ціни, а BS — ні.

Розділ 3

Нормальна волатильність проти BS-волатильності

Переклад між ними простий поблизу ATM: σ_n ≈ S · σ_BS. Плоска нормальна усмішка перетворюється на скошену BS-усмішку, бо той самий доларовий рух є різним відсотком на кожному страйку.

Якщо спот — $100, а BS-волатильність — 30%, нормальна волатильність приблизно $30. Якщо спот падає до $50, ті самі $30 нормальної волатильності стають 60% у термінах BS. У світі Башельє нічого не змінилося — але BS-волатильність подвоїлась.

Ось чому ідеально плоска усмішка Башельє (одна нормальна волатильність для всіх страйків) дає скошену BS-усмішку. Для низьких страйків той самий доларовий рух — це більший відсоток. Для високих страйків — менший. Крива імпліцитної волатильності BS нахиляється донизу зліва направо.

Конверсія поблизу ATM

σ_n ≈ S · σ_BS

σ_BS ≈ σ_n / S

Це наближення точне поблизу ATM, але погіршується для глибоко OTM страйків. Саме це погіршення і створює видимий скью після конверсії.

Інтерактив нижче показує обидва погляди на той самий ринок. Башельє каже: одна волатильність. BS каже: крива. Жоден не помиляється — це різні системи координат для того самого набору цін опціонів.

Фальшивий скью: ті самі ціни, дві системи координат

Вигляд Bachelier плоска

Вигляд BS зі скью

Спот-ціна$100

Нормальна волатильність$20

Лівий графік ніколи не змінює форму. Це завжди пряма лінія — за Bachelier одна волатильність для всіх страйків. Правий графік показує ті самі ціни опціонів, пропущені через математику Black-Scholes. Пересуньте повзунок спот-ціни та подивіться, як скью BS стає крутішим або пласкішим. Ринок не змінився — змінилася лише система координат.

Розділ 4

Коли Башельє — правильна модель

Башельє — галузевий стандарт для опціонів на ставки, спредових опціонів та будь-якого продукту, де базовий актив може бути від'ємним. Це не найкращий вибір за замовчуванням для крипто-споту — але він ідеальний для продуктів на базис і ставку фінансування.

Процентні ставки: Коли ЄЦБ у 2014 році опустив ставки в мінус, Блек-Шоулз зламався. Не можна взяти логарифм від'ємного числа. Деski ставок по всьому світу за одну ніч перейшли з логнормального на нормальне котирування. Волатильність свопціонів тепер котирується в базисних пунктах нормальної волатильності, а не у відсотках логнормальної.

Спреди: Різниця між двома цінами природно адитивна. Календарний спред, базисна угода або крос-валютний спред можуть бути додатними або від'ємними. Башельє обробляє це без милиць.

Продукти фінансування: Крипто-ставки фінансування коливаються навколо нуля і можуть бути від'ємними. Якщо ви оцінюєте опціони на ставки фінансування, Башельє — природна мова.

Крипто-спот: Ціни додатні й демонструють ефект левериджу (волатильність зростає, коли ціна падає). Логнормальна рамка тут природніша. Використовуйте BS для споту, Башельє — для ставок і спредів.

Адитивні (Башельє) та мультиплікативні (BS) траєкторії

Bachelier: dS = σ_n·dW

BS: dS = S·σ·dW

Траєкторій: 0Перетнули нуль: 0

Башельє (адитивний шум, може стати від'ємною)BS (мультиплікативний шум, залишається додатною)

Ліва панель показує траєкторії Башельє: адитивний шум, симетричні, і деякі перетинають нуль. Права панель показує траєкторії BS: мультиплікативний шум, завжди додатні, а розподіл має довгий правий хвіст. Додавайте траєкторії і спостерігайте, скільки траєкторій Башельє йдуть у мінус — це той «баг», який насправді є перевагою для ставок.

Розділ 5

Проблема фальшивого скью

Якщо котирувати ринок Башельє в термінах Блека-Шоулза, ви побачите скью, якого не існує. Цей «скью» — лише перетворення координат. Це найважливіший урок цієї сторінки.

Уявіть маркетмейкера, який оцінює опціони з плоскою нормальною волатильністю. Кожен страйк отримує $20 нормальної волатильності. Жодного скью. Жодної усмішки. Одне число.

Тепер трейдер конвертує ці ціни в імпліцитну волатильність BS за допомогою стандартного IV-солвера. Опціони з низькими страйками показують вищу BS-волатильність. Опціони з високими страйками — нижчу. Трейдер бачить пут-скью і думає, що ринок закладає ризик обвалу.

Але на цьому ринку немає ризику обвалу. Скью — артефакт того, що нормальний світ проганяють крізь логнормальну лінзу. Рух на $20 при базовому активі $80 — це 25% у термінах BS. Той самий рух на $20 при базовому активі $120 — лише 16.7%. Різні відсотки, той самий доларовий рух.

Фальшивий скью: ті самі ціни, дві системи координат

Вигляд Bachelier плоска

Вигляд BS зі скью

Спот-ціна$100

Нормальна волатильність$20

На практиці це важливо, тому що:

Можна помилково діагностувати скью. Якщо деск ставок котирує в нормальній волатильності, а ви конвертуєте в BS, ви побачите скью, який на 100% є артефактом. Не торгуйте його.

Зв'язок із SABR. Параметр beta у SABR визначає, де ви перебуваєте на спектрі від Башельє до BS. Beta = 0 — повний Башельє (нормальний). Beta = 1 — повний BS (логнормальний). Більша частина «скью», який ви бачите при beta = 0 у термінах BS, — той самий координатний артефакт.

Золоте правило: Перш ніж торгувати скью, запитайте себе: це властивість ринку чи властивість моделі? Плоске в одній системі координат може виглядати скошеним в іншій.

Куди рухатися далі:

Блек-Шоулз — логнормальний аналог

Модель SABR — використовує beta для вибору на спектрі нормальний-логнормальний

Модель CEV — з'єднує нормальний і логнормальний світи через параметр beta

Скью — як відокремити артефакти моделі від властивостей ринку