Модель Башельє (нормальна)

Модель Башельє (1900) була першою моделлю ціноутворення опціонів — вона з'явилася за 73 роки до Блека-Шоулза. Зміни ціни є адитивними та нормально розподіленими. Замість моделювання відсоткових дохідностей (логнормальний підхід), Башельє моделює зміни в доларах (нормальний підхід). Ціна може стати від'ємною — це баг для акцій, але перевага для процентних ставок.

Модель має рівно один параметр: нормальну волатильність, виміряну в абсолютних величинах (наприклад, "$50/рік" замість "30%/рік"). Усмішки немає. Якби світ був світом Башельє, кожен опціон за всіма страйками мав би однакову нормальну волатильність. Ця плоска усмішка — головне передбачення моделі.

💡

Скью може бути артефактом моделі

Башельє за побудовою створює плоску усмішку. Конвертуйте ці ціни в імпліцитну волатильність Блека-Шоулза — і ви отримаєте скью. Цього скью немає на ринку — це наслідок нав'язування логнормальної математики світу, який може бути нормальним.

Дослідіть модель

Плоска синя пунктирна лінія — це погляд Башельє: одна волатильність для всіх страйків. Зелена крива показує ті самі ціни опціонів, переражені в термінах Блека-Шоулза. Знизьте спотову ціну і спостерігайте, як видиме BS-скью стає крутішим — хоча у світі Башельє нічого не змінилося.

Оглядач Bachelier vs Black-Scholes

Типове налаштування. Усмішка Bachelier пласка за визначенням. Ті самі ціни, перевиражені в термінах BS, дають скью.

Нормальна вол.20

Абсолютна волатильність у $/рік (не у відсотках)

Спот-ціна (S)100

Нижчий спот = більш виражений скью BS

Пласка синя пунктирна лінія — погляд Bachelier: одна волатильність для всіх страйків. Зелена крива — ті самі ціни опціонів, перевиражені в термінах Black-Scholes. «Скью» — це артефакт моделі, а не властивість ринку.

Що робить кожен параметр

• Нормальна волатильність: Єдиний параметр. Вимірюється в абсолютних цінових одиницях на рік (не у відсотках). Нормальна волатильність 20 означає, що очікуваний рух ціни становить $20 за один рік (одне стандартне відхилення). Усі страйки отримують цю саму волатильність — усмішка плоска.
• Спотова ціна: Не змінює усмішку Башельє (вона залишається плоскою). Але суттєво впливає на BS-еквівалентну усмішку. За нижчих спотових цін той самий рух у доларах перетворюється на більший відсотковий рух, тож імпліцитна волатильність BS зростає — створюючи видиме пут-скью.

Чому з'являється "скью" в BS

Що відбувається

Погляд Башельє

Погляд BS

Ціноутворення ATM опціону

Нормальна волатильність застосовується напряму

Логнормальна волатильність приблизно дорівнює normal_vol / spot

OTM пут (низький страйк)

Та сама волатильність, що й ATM

Вища IV, бо той самий рух у $ = більший рух у % за нижчої ціни

OTM колл (високий страйк)

Та сама волатильність, що й ATM

Нижча IV, бо той самий рух у $ = менший рух у % за вищої ціни

Зниження спотової ціни

Усмішка залишається плоскою

Вся крива зсувається вгору, крило путів стає крутішим

ℹ️

Бета в SABR обирає хребет

Хребет SABR (усмішка з вимкненою волатильністю волатильності) залежить від бети. Бета = 0: Башельє. Бета = 1: Блек-Шоулз. Бета визначає, де ви перебуваєте на спектрі нормальна-логнормальна.

Де використовується Башельє

Ринок

Чому Башельє

Одиниця нормальної волатильності

Свопціони на процентні ставки

Ставки стали від'ємними в EUR, JPY, CHF. BS ламається на нулі. Башельє — ні.

б.п./рік (наприклад, 50 б.п.)

Опціони на спред

Спреди можуть бути від'ємними. Адитивна модель природна.

$/рік або б.п./рік

Опціони на CDS

Кредитні спреди природно моделюються як адитивні рухи.

б.п./рік

Крипто (нішево)

Опціони на ставку фінансування або на базис, де базовий актив може стати від'ємним.

%/рік (абсолютні)

⚠️

Не для спотових крипто-опціонів

Спотові ціни криптоактивів додатні та демонструють ефекти левериджу (волатильність зростає при падінні ціни). Логнормальний фреймворк (сімейство Блека-Шоулза) тут природніший. Башельє — правильний інструмент для ставок, спредів і всього, що може стати від'ємним.

Башельє проти Блека-Шоулза одним поглядом

Башельє

Блек-Шоулз

Динаміка цін

Адитивна (нормальна)

Мультиплікативна (логнормальна)

Одиниця волатильності

$/рік (абсолютна)

%/рік (відносна)

Від'ємні ціни?

Так (за задумом)

Ні (логарифм від'ємного числа не визначений)

Форма усмішки

Плоска за визначенням

Плоска лише якщо світ справді логнормальний

Параметри

1 (нормальна волатильність)

1 (логнормальна волатильність)

Конвертація

σ_n ≈ σ_BS × S (біля ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (біля ATM)

Використовується для

Ставки, спреди, CDS

Акції, FX, спотове крипто

Формула конвертації

Поблизу ATM можна конвертувати між обома:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

Базовий актив за ціною $100 з 30$30 нормальної волатильності. Але це наближення руйнується подалі від ATM — саме тому "усмішка" BS з'являється при конвертації цін Башельє.

💡

Плоска усмішка за визначенням

Башельє розглядає зміни ціни як адитивні. Її усмішка плоска за визначенням. Скью, що з'являється після конвертації в терміни BS, — це артефакт вибору моделі, а не властивість ринку.

Дослідник рівнянь

Дослідник рівнянь

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Днів до експірації

днів

Безризикова ставка

%

Імпліцитна вол. (σ)

%

Ціна колла

$8300

Ціна пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Чому Башельє створює плоску усмішку, а Блек-Шоулз — ні?

Q: Якщо взяти ціни опціонів за Башельє і конвертувати їх в імпліцитну волатильність BS, ви отримаєте пут-скью. Звідки береться це скью?

Q: Коли варто використовувати Башельє замість Блека-Шоулза для крипто?

Q: Який зв'язок біля ATM між нормальною волатильністю та волатильністю BS?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Побудова математичної інтуїції

Вивчіть Башельє з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок починається з простої ментальної моделі, а потім проходить через нормальну волатильність, формулу ціноутворення і пояснює, чому плоска нормальна усмішка може проявитися як скью після трансляції в терміни Блека-Шоулза.

---

Див. також:

• Блек-Шоулз — Логнормальний аналог
• Модель CEV — З'єднує нормальний і логнормальний підходи через параметр бета
• Модель SABR — Використовує бету для вибору на спектрі нормальна-логнормальна
• Зміщена дифузія — Ще один спосіб роботи з базовими активами біля нуля
• Імпліцитна волатильність — Концепція, що залежить від обраної моделі
• Скью — Відокремлення артефактів моделі від властивостей ринку